Avalie criticamente a resolução do estudante. Diga se a resolução está correta ou incorreta, apresentando um argumento que justifique sua resposta.
Verifique se a função
f(x, y)= x^2 y^32 x^2+y^3, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)
é contínua na origem.
Um estudante apresentou a seguinte solução:
Como f(0,0)=1, então (0,0) pertence ao domínio da f.
Para calcular o limite ele utilizou o teorema do confronto da seguinte forma:
Note que y^32 x^2+y^3 é limitado já que y^3 <= 2 x^2+y^3 e ainda lim x 0 x^2=0, logo
lim (x, x) (0,0) x^2 y^32 x^2+y^3=0
Como o limite existe, logo a função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente está vendo aqui. A questão pede para a gente verificar se a função
f(x, y)= x^2 y^32 x^2+y^3, & se (x, y) neq(0,0) 1, & se (x, y)=(0,0)
é contínua na origem. Pra isso, vamos precisar entender de limites de funções de várias variáveis e do Teorema do Confronto, também conhecido como Squeeze Theorem.

Passo 2

Primeiro, o estudante observa que f(0,0) = 1, o que está correto. Isso significa que a função está bem definida na origem, ou seja, a origem faz parte do domínio da função.

Passo 3

O próximo passo do estudante foi calcular o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0). Ele usou o Teorema do Confronto para isso, o que é uma boa ideia quando queremos mostrar que o limite é zero.

Passo 4

Ele argumentou que y^32 x^2+y^3 é limitado porque y^3 <= 2 x^2+y^3. Isso faz sentido porque o denominador sempre é maior ou igual ao numerador, garantindo que a fração não cresça indefinidamente.

Passo 5

Em seguida, o estudante observa que lim x 0 x^2=0. Como x^2 está multiplicando a fração que é limitada, isso sugere que o limite total da expressão x^2 y^32 x^2+y^3 será zero.

Passo 6

Finalmente, o estudante conclui que:
lim (x, y) (0,0) x^2 y^32 x^2+y^3=0
E como o limite existe, ele afirma que a função é contínua.

Resposta

A resolução do estudante está incorreta. Embora ele tenha calculado corretamente que o limite da função quando (x, y) se aproxima de (0,0) é 0, ele esqueceu de comparar esse limite com o valor da função na origem, que é f(0,0) = 1. Para a função ser contínua na origem, é necessário que o limite seja igual ao valor da função no ponto. Como 0 neq 1, a função não é contínua na origem.

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