(b) Em seguida, determine e esboce a equação da curva de nível que passa pelo ponto (2,2).
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos e esboçarmos a equação da curva de nível que passa pelo ponto (2, 2) para a função
. Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma curva de nível. Basicamente, para uma função
, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja,
.
Passo 3
No nosso caso, a curva de nível passa pelo ponto (2, 2). Então, vamos encontrar o valor de
substituindo
e
na função:
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos escrever a equação da curva de nível substituindo
na equação
:
Passo 5
Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 6
Agora, resolvendo para
:
Passo 7
Essa é a equação de um círculo com centro na origem (0, 0) e raio
, que pode ser simplificado para
.
Resposta
A equação da curva de nível que passa pelo ponto (2, 2) é:
Esboço da Curva de Nível
Para esboçar o círculo
:
- Desenhe um sistema de coordenadas.
- Marque o centro na origem (0, 0).
- Calcule o raio:
. - Trace o círculo com esse raio centrado na origem.
- Verifique que o ponto (2, 2) está sobre o círculo, confirmando nossa solução.