(b) Em seguida, determine e esboce a equação da curva de nível que passa pelo ponto (2,2). f(x, y) = raiz(x^2 + y^2 - 1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinarmos e esboçarmos a equação da curva de nível que passa pelo ponto (2, 2) para a função . Isso está relacionado ao estudo de funções de duas variáveis e curvas de nível, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma curva de nível. Basicamente, para uma função , uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, .

Passo 3

No nosso caso, a curva de nível passa pelo ponto (2, 2). Então, vamos encontrar o valor de substituindo e na função:

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos escrever a equação da curva de nível substituindo na equação :

Passo 5

Para simplificar, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Agora, resolvendo para :

Passo 7

Essa é a equação de um círculo com centro na origem (0, 0) e raio , que pode ser simplificado para .

Resposta

A equação da curva de nível que passa pelo ponto (2, 2) é:

Esboço da Curva de Nível

Para esboçar o círculo :
  1. Desenhe um sistema de coordenadas.
  2. Marque o centro na origem (0, 0).
  3. Calcule o raio: .
  4. Trace o círculo com esse raio centrado na origem.
  5. Verifique que o ponto (2, 2) está sobre o círculo, confirmando nossa solução.

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