a) Prove que existe
tal que
para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que existe um número positivo
tal que, para todos os valores de
que estão mais próximos de 0 (ou seja,
), a expressão
é menor que
, que por sua vez é menor que 0. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e suas aproximações próximas de 0.
Passo 2
Vamos analisar cada parte da desigualdade separadamente. Primeiro, sabemos que
é sempre menor ou igual a 1, e exatamente igual a 1 quando
. Portanto,
será sempre menor ou igual a 0. Queremos mostrar que, perto de 0, essa expressão é menor que
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a expressão
. Sabemos, a partir do limite fundamental da trigonometria, que:
Isso significa que, quando
está muito próximo de 0,
está muito próximo de 1. Então,
será próximo de 0.
Passo 4
Queremos provar que
. Vamos simplificar isso:
Então, precisamos mostrar que
é menor que
para
próximo de 0.
Passo 5
Para fazer isso, podemos usar a série de Taylor para
e
em torno de 0:
Substituindo na expressão
:
E para
:
Passo 6
Comparando as duas expressões:
Podemos ver que
tem um termo de
enquanto
tem
. Como
, isso significa que
é maior que
quando
é pequeno.
Passo 7
Portanto, para
suficientemente pequeno (ou seja,
para algum
), temos:
Isso conclui que existe um raio
em torno de 0 onde a desigualdade é válida.
Resposta
Portanto, existe um número positivo
tal que para todos os
com
, a desigualdade
é verdadeira.
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Não existe
3
b)