a) Prove que existe tal que
para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos provar que existe um número positivo tal que, para todos os valores de que estão mais próximos de 0 (ou seja, ), a expressão é menor que , que por sua vez é menor que 0. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e suas aproximações próximas de 0.

Passo 2

Vamos analisar cada parte da desigualdade separadamente. Primeiro, sabemos que é sempre menor ou igual a 1, e exatamente igual a 1 quando . Portanto, será sempre menor ou igual a 0. Queremos mostrar que, perto de 0, essa expressão é menor que .

Passo 3

Agora, vamos considerar a expressão . Sabemos, a partir do limite fundamental da trigonometria, que:
Isso significa que, quando está muito próximo de 0, está muito próximo de 1. Então, será próximo de 0.

Passo 4

Queremos provar que . Vamos simplificar isso:
Então, precisamos mostrar que é menor que para próximo de 0.

Passo 5

Para fazer isso, podemos usar a série de Taylor para e em torno de 0:
Substituindo na expressão :
E para :

Passo 6

Comparando as duas expressões:
Podemos ver que tem um termo de enquanto tem . Como , isso significa que é maior que quando é pequeno.

Passo 7

Portanto, para suficientemente pequeno (ou seja, para algum ), temos:
Isso conclui que existe um raio em torno de 0 onde a desigualdade é válida.

Resposta

Portanto, existe um número positivo tal que para todos os com , a desigualdade é verdadeira.

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Não existe
3
b)
.