.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui estamos lidando com cálculo de limites, especificamente analisando o comportamento da função quando se aproxima de por valores maiores e menores que . Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções absolutas e como aplicar a definição de limite lateralmente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Podemos fatorar essa expressão:
Então, o limite fica:

Passo 3

Agora, vamos analisar a função absoluta . A função absoluta retorna o valor positivo de , ou seja:
No nosso caso, estamos fazendo se aproximar de , então vamos considerar os valores de próximos a por cima ( ) e por baixo ( ).

Passo 4

Vamos começar com (aproximando-se de por valores maiores).
Quando está próximo de por cima, é próximo de 0, mas ligeiramente positivo. Então:
Substituindo no limite:

Passo 5

Simplificamos a expressão no numerador e denominador:
Agora, substituímos :

Passo 6

Agora, analisamos (aproximando-se de por valores menores).
Neste caso, é ligeiramente negativo, então:
Substituindo no limite:

Passo 7

Simplificamos a expressão:
Substituindo :

Resposta

O limite quando se aproxima de por cima é e por baixo é .

Exercícios relacionados

b)
a) Prove que existe tal que
para .
.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.