.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui estamos lidando com cálculo de limites, especificamente analisando o comportamento da função quando
se aproxima de
por valores maiores e menores que
. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam as funções absolutas e como aplicar a definição de limite lateralmente.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Podemos fatorar essa expressão:
Então, o limite fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a função absoluta
. A função absoluta retorna o valor positivo de
, ou seja:
No nosso caso, estamos fazendo
se aproximar de
, então vamos considerar os valores de
próximos a
por cima (
) e por baixo (
).
Passo 4
Vamos começar com
(aproximando-se de
por valores maiores).
Quando
está próximo de
por cima,
é próximo de 0, mas ligeiramente positivo. Então:
Substituindo no limite:
Passo 5
Simplificamos a expressão no numerador e denominador:
Agora, substituímos
:
Passo 6
Agora, analisamos
(aproximando-se de
por valores menores).
Neste caso,
é ligeiramente negativo, então:
Substituindo no limite:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Substituindo
:
Resposta
O limite quando
se aproxima de
por cima é
e por baixo é
.
Exercícios relacionados
b)
a) Prove que existe
tal que
para
.
Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.