Prove que a função f: R -> R, dada por f(x) = 5 x^3 + 2, é bijetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a função , dada por , é bijetora. Isso significa que precisamos mostrar que essa função é injetora (cada valor de corresponde a um único ) e sobrejetora (todo valor em é atingido por algum ).

Passo 2

Primeiro, vamos provar que a função é injetora. Uma função é injetora se, quando , isso implica que .
Vamos supor que :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Finalmente, tirando a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, mostramos que se , então . Portanto, a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos provar que a função é sobrejetora. Isso significa que para todo em , existe um em tal que .
Começamos com a equação:
Queremos resolver para :
Como todo número real vai gerar um valor real para , isso mostra que para qualquer que escolhermos, sempre existe um que satisfaz . Assim, a função é sobrejetora.

Resposta

Como a função é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.

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