Prove que a função
, dada por
, é bijetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que a função
, dada por
, é bijetora. Isso significa que precisamos mostrar que essa função é injetora (cada valor de
corresponde a um único
) e sobrejetora (todo valor em
é atingido por algum
).
Passo 2
Primeiro, vamos provar que a função é injetora. Uma função é injetora se, quando
, isso implica que
.
Vamos supor que
:
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Finalmente, tirando a raiz cúbica de ambos os lados:
Então, mostramos que se
, então
. Portanto, a função é injetora.
Passo 3
Agora, vamos provar que a função é sobrejetora. Isso significa que para todo
em
, existe um
em
tal que
.
Começamos com a equação:
Queremos resolver para
:
Como todo número real
vai gerar um valor real para
, isso mostra que para qualquer
que escolhermos, sempre existe um
que satisfaz
. Assim, a função é sobrejetora.
Resposta
Como a função
é injetora e sobrejetora, ela é bijetora.
Exercícios relacionados
Use os dados das Tabelas 11.1 e 11.2 para organizar os seguintes ácidos em ordem crescente de força:
,
.
Dê os valores de
das seguintes bases: (a) amônia,
,
; (b) amônia deuterada,
; © hidrazina,
; (d) hidroxilamina,
. © Liste as bases em ordem crescente de força.
Dado o conjunto
. Prove, utilizando o postulado de Dedekind, que: sup
.
Seja o conjunto
. Faça o que se pede:
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em ;
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.