Dado o conjunto
. Prove, utilizando o postulado de Dedekind, que: sup
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem o conjunto
. Nosso objetivo é provar, usando o postulado de Dedekind, que o supremo de
é 6. Para isso, vamos precisar entender o que é supremo, conhecer o postulado de Dedekind e analisar como os elementos de
se comportam quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão que define os elementos de
. Temos:
Isso significa que cada elemento de
é igual a 6 menos
. Conforme
aumenta,
diminui, fazendo com que os elementos de
se aproximem de 6.
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o supremo de um conjunto. O supremo (ou menor limite superior) de um conjunto
é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de
e que, se tentarmos diminuir um pouquinho esse número, ele já não será mais um limite superior.
No nosso caso, queremos mostrar que 6 é o supremo de
.
Passo 4
Vamos verificar dois pontos para confirmar que 6 �� de fato o supremo:
-
6 é um limite superior de
: Para todo , temos . Ou seja, nenhum elemento de ultrapassa 6. -
6 é o menor limite superior: Se escolhermos qualquer número menor que 6, digamos
com , podemos encontrar um grande o suficiente para que . Assim, , o que mostra que não é um limite superior.
Passo 5
Usando o postulado de Dedekind, que garante que todo conjunto não vazio de números reais que é limitado acima possui um supremo, concluímos que o menor limite superior de
é realmente 6.
Resposta
Portanto, o supremo de
é 6.
Exercícios relacionados
Prove que a função
, dada por
, é bijetora.
Use os dados das Tabelas 11.1 e 11.2 para organizar os seguintes ácidos em ordem crescente de força:
,
.
Seja o conjunto
. Faça o que se pede:
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em ;
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.
Seja
um conjunto dos números reais, limitado superiormente.
Considere o conjunto . Mostre que:
(a) ;
(b) é limitado inferiormente;
© existe ;
(d) existe ;
(e) .
Considere o conjunto
(a)
(b)
© existe
(d) existe
(e)