Dado o conjunto A = { (6n - 1) / n, n em N* }. Prove, utilizando o postulado de Dedekind, que: sup A=6.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem o conjunto . Nosso objetivo é provar, usando o postulado de Dedekind, que o supremo de é 6. Para isso, vamos precisar entender o que é supremo, conhecer o postulado de Dedekind e analisar como os elementos de se comportam quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão que define os elementos de . Temos:
Isso significa que cada elemento de é igual a 6 menos . Conforme aumenta, diminui, fazendo com que os elementos de se aproximem de 6.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o supremo de um conjunto. O supremo (ou menor limite superior) de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos de e que, se tentarmos diminuir um pouquinho esse número, ele já não será mais um limite superior.
No nosso caso, queremos mostrar que 6 é o supremo de .

Passo 4

Vamos verificar dois pontos para confirmar que 6 �� de fato o supremo:
  1. 6 é um limite superior de : Para todo , temos . Ou seja, nenhum elemento de ultrapassa 6.
  2. 6 é o menor limite superior: Se escolhermos qualquer número menor que 6, digamos com , podemos encontrar um grande o suficiente para que . Assim, , o que mostra que não é um limite superior.

Passo 5

Usando o postulado de Dedekind, que garante que todo conjunto não vazio de números reais que é limitado acima possui um supremo, concluímos que o menor limite superior de é realmente 6.

Resposta

Portanto, o supremo de é 6.

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