Seja o conjunto . Faça o que se pede:
(a) Descreva geometricamente o conjunto dos pontos da reta, definidos em ;
(b) B é limitado superiormente? Existe o supremo do conjunto B? O conjunto B possui máximo? Demonstre e justifique suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão tá pedindo! A gente tem o conjunto . A matéria aqui envolve resolução de inequações polinomiais e análise de conjuntos na reta real. Vamos precisar entender onde a expressão é maior ou igual a zero e depois analisar as propriedades desse conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a inequação . Para isso, vamos analisar os sinais de cada fator:
  • é sempre maior ou igual a zero porque qualquer número ao quadrado é não negativo.
  • depende do valor de :
    • Se , .
    • Se , .
    • Se , .
Multiplicando os sinais:
  • Para : , então a expressão é positiva.
  • Para : , então a expressão é zero.
  • Para :
    • Se , , expressão negativa.
    • Se , .
Então, os valores que satisfazem a inequação são e .

Passo 3

Agora, vamos descrever geometricamente o conjunto na reta real. Ele consiste em todos os números maiores ou iguais a 2 e também no ponto -1. Então, na reta, a gente marca o ponto -1 e um intervalo fechado começando em 2 indo até o infinito.

Passo 4

Para a segunda parte, vamos verificar se é limitado superiormente. Um conjunto é limitado superiormente se existe um número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto.
Como inclui todos os números a partir de 2 até o infinito ( ), não há um número finito que seja maior que todos os elementos de . Então, não é limitado superiormente.
Consequentemente, o supremo de não existe no conjunto dos números reais, já que não há um menor limite superior finito.
Por último, para saber se possui um máximo, precisamos verificar se existe um maior elemento dentro de . Como vai até o infinito, não há um maior número, ou seja, não possui um máximo.

Resposta

(a) Geometricamente, o conjunto é representado na reta real pelo ponto isolado e pelo intervalo fechado .
(b) O conjunto não é limitado superiormente, portanto, não existe um supremo finito para . Além disso, não possui um máximo.

Exercícios relacionados

Dado o conjunto . Prove, utilizando o postulado de Dedekind, que: sup .
Prove que a função , dada por , é bijetora.
Seja um conjunto dos números reais, limitado superiormente.
Considere o conjunto . Mostre que:
(a) ;
(b) é limitado inferiormente;
© existe ;
(d) existe ;
(e) .
Calcule
onde é o sólido limitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo cone .