Prove que um número inteiro possui um número ímpar de divisores positivos se, e somente se, é um quadrado perfeito.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de matemática que pede para provar que um número inteiro tem um número ímpar de divisores positivos se e somente se ele for um quadrado perfeito. Isso envolve conceitos de teoria dos números, especificamente sobre divisores e quadrados perfeitos. Vamos precisar entender como contar os divisores de um número e identificar quando esse número é um quadrado perfeito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os divisores positivos de um número inteiro
são todos os números que dividem
sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 9 são 1, 3 e 9.
Passo 3
Agora, vamos entender quantos divisores um número tem. Se
, onde
são primos e
são seus expoentes, então o número total de divisores de
é dado por:
Isso porque para cada primo, podemos escolher seu expoente de 0 até
.
Passo 4
Queremos que
seja ímpar. Para que o produto
seja ímpar, cada fator
precisa ser ímpar. E isso só acontece se cada
for par.
Passo 5
Se todos os expoentes
são pares, então podemos escrever
para algum inteiro
. Então, o número
fica:
Isso mostra que
é um quadrado perfeito, pois é o quadrado de outro número inteiro.
Passo 6
Finalmente, juntando tudo: se
tem um número ímpar de divisores, então todos os seus expoentes na fatoração são pares, o que faz de
um quadrado perfeito. E, vice-versa, se
é um quadrado perfeito, todos os expoentes na sua fatoração são pares, resultando em um número ímpar de divisores.
Resposta
Portanto, um número inteiro possui um número ímpar de divisores positivos se e somente se é um quadrado perfeito.