Prove que um número inteiro possui um número ímpar de divisores positivos se, e somente se, é um quadrado perfeito.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de matemática que pede para provar que um número inteiro tem um número ímpar de divisores positivos se e somente se ele for um quadrado perfeito. Isso envolve conceitos de teoria dos números, especificamente sobre divisores e quadrados perfeitos. Vamos precisar entender como contar os divisores de um número e identificar quando esse número é um quadrado perfeito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os divisores positivos de um número inteiro são todos os números que dividem sem deixar resto. Por exemplo, os divisores de 9 são 1, 3 e 9.

Passo 3

Agora, vamos entender quantos divisores um número tem. Se d(n) = (a1 + 1)(a2 + 1) dots (ak + 1) , onde são primos e são seus expoentes, então o número total de divisores de é dado por:
Isso porque para cada primo, podemos escolher seu expoente de 0 até .

Passo 4

Queremos que seja ímpar. Para que o produto seja ímpar, cada fator precisa ser ímpar. E isso só acontece se cada for par.

Passo 5

Se todos os expoentes n = p1^2b1 times p2^2b2 times dots times pk^2bk = ( p1^b1 times p2^b2 times dots times pk^bk )^2 são pares, então podemos escrever para algum inteiro . Então, o número fica:
Isso mostra que é um quadrado perfeito, pois é o quadrado de outro número inteiro.

Passo 6

Finalmente, juntando tudo: se tem um número ímpar de divisores, então todos os seus expoentes na fatoração são pares, o que faz de um quadrado perfeito. E, vice-versa, se é um quadrado perfeito, todos os expoentes na sua fatoração são pares, resultando em um número ímpar de divisores.

Resposta

Portanto, um número inteiro possui um número ímpar de divisores positivos se e somente se é um quadrado perfeito.

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