A teoria de certo fenômeno prevê que a variável adimensional Y varia em função da temperatura absoluta T, segundo a lei linear Y=m+n T, onde m e n são parâmetros fixos (constantes).
T 3,0 3,6 3,9 4,4 5,0
Y 6,9 6,8 6,5 6,2 5,8
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Encontre a equação de regressão através do método dos minimos quadrados.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de estatística onde temos uma tabela com valores de temperatura absoluta e uma variável adimensional . O enunciado nos pede para:
a) Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson.
b) Encontrar a equação de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados.
Para isso, vamos precisar usar fórmulas de estatística básica relacionadas a correlação e regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
c|c|c|c|c|c T & 3,0 & 3,6 & 3,9 & 4,4 & 5,0 hline Y & 6,9 & 6,8 & 6,5 & 6,2 & 5,8
Vamos listar cada par para facilitar nossos cálculos.

Passo 3

Para calcular o coeficiente de correlação de Pearson ( r = n sum(Ti Yi) - sum Ti sum Yiraiz[n sum Ti^2 - (sum Ti)^2][n sum Yi^2 - (sum Yi)^2] ), precisamos das seguintes fórmulas:
Onde:
  • é o número de pares de dados.
  • é a soma das temperaturas.
  • é a soma das variáveis Y.
  • é a soma do produto de cada par e .
  • é a soma dos quadrados das temperaturas.
  • é a soma dos quadrados das variáveis Y.

Passo 4

Vamos calcular cada um desses componentes:
  1. Número de dados ( n = 5 ):
sum Ti = 3,0 + 3,6 + 3,9 + 4,4 + 5,0 = 19,9
  1. Soma de sum Yi = 6,9 + 6,8 + 6,5 + 6,2 + 5,8 = 32,2 :
sum Ti Yi = (3,0 times 6,9) + (3,6 times 6,8) + (3,9 times 6,5) + (4,4 times 6,2) + (5,0 times 5,8)
  1. Soma de = 20,7 + 24,48 + 25,35 + 27,28 + 29,0 = 126,81 :
sum Ti^2 = 3,0^2 + 3,6^2 + 3,9^2 + 4,4^2 + 5,0^2 = 9,0 + 12,96 + 15,21 + 19,36 + 25,0 = 81,53
  1. Soma de sum Yi^2 = 6,9^2 + 6,8^2 + 6,5^2 + 6,2^2 + 5,8^2 = 47,61 + 46,24 + 42,25 + 38,44 + 33,64 = 208,18 :
  1. Soma de :
  1. Soma de :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
r = 5 times 126,81 - 19,9 times 32,2raiz[5 times 81,53 - (19,9)^2][5 times 208,18 - (32,2)^2]
Calculando o numerador:
5 times 126,81 = 634,05
19,9 times 32,2 = 640,78
634,05 - 640,78 = -6,73
Calculando o denominador:
Primeira parte dentro da raiz:
5 times 81,53 = 407,65
(19,9)^2 = 396,01
407,65 - 396,01 = 11,64
Segunda parte dentro da raiz:
5 times 208,18 = 1040,9
(32,2)^2 = 1036,84
1040,9 - 1036,84 = 4,06
Agora, multiplicamos as duas partes:
11,64 times 4,06 = 47,18
E tiramos a raiz quadrada:
raiz47,18 approx 6,87
Finalmente, calculamos r = -6,736,87 approx -0,98 :

Passo 6

Agora, para encontrar a equação de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados, usamos a fórmula:
Y = a + bT
Onde:
  • b = n sum(Ti Yi) - sum Ti sum Yin sum Ti^2 - (sum Ti)^2 é o coeficiente angular definido por:
a = sum Yi - b sum Tin
  • é o coeficiente linear definido por:

Passo 7

Vamos calcular b = 5 times 126,81 - 19,9 times 32,25 times 81,53 - (19,9)^2 = 634,05 - 640,78407,65 - 396,01 = -6,7311,64 approx -0,58 :
a = 32,2 - (-0,58) times 19,95 = 32,2 + 11,5425 = 43,7425 approx 8,75
Agora, calculamos :

Resposta

a) O coeficiente de correlação linear de Pearson é aproximadamente Y = 8,75 - 0,58 T .
b) A equação de regressão linear encontrada pelo método dos mínimos quadrados é:

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