Mostre que, se
:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma que vai de
até
envolvendo termos com binômios e sinais alternados:
E queremos mostrar que essa soma é igual a:
Estamos trabalhando com coeficientes binomiais, que são usados em combinações e também aparecem no desenvolvimento do binômio de Newton. Para resolver isso, vamos manipular a soma passo a passo até chegar na expressão desejada.
Passo 2
Vamos começar observando os sinais alternados na soma. Podemos reescrever
como
. Como
é fixo na soma,
é uma constante e pode ser fatorada para fora da soma:
Agora, temos uma soma mais simples com sinais alternados.
Passo 3
Vamos lembrar de uma identidade importante dos coeficientes binomiais:
Essa identidade é válida porque é o desenvolvimento do binômio
. Mas nossa soma começa em
e não de
. Então, podemos reescrever a nossa soma subtraindo a parte que falta:
Usando a identidade acima, sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos focar na soma
. Para simplificar, vamos usar a seguinte identidade:
Essa identidade pode ser derivada usando o princípio da inclusão-exclusão ou propriedades dos coeficientes binomiais.
Aplicando essa identidade com
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
Lembre-se que
, então ao multiplicar por
, invertemos o sinal.
Passo 6
Lembrando que no Passo 2 fatoramos
, temos:
Os
se cancelam porque
.
Resposta
Portanto, mostramos que: