Mostre que, se n >= k >= r >= 0 : sumj=k^n(-1)^j+kbinomnj=binomn-1k-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma soma que vai de sumj=k^n (-1)^j+k binomnj até binomn-1k-1 envolvendo termos com binômios e sinais alternados:
E queremos mostrar que essa soma é igual a:
Estamos trabalhando com coeficientes binomiais, que são usados em combinações e também aparecem no desenvolvimento do binômio de Newton. Para resolver isso, vamos manipular a soma passo a passo até chegar na expressão desejada.

Passo 2

Vamos começar observando os sinais alternados na soma. Podemos reescrever sumj=k^n (-1)^j+k binomnj = (-1)^k sumj=k^n (-1)^j binomnj como . Como é fixo na soma, é uma constante e pode ser fatorada para fora da soma:
Agora, temos uma soma mais simples com sinais alternados.

Passo 3

Vamos lembrar de uma identidade importante dos coeficientes binomiais:
sumj=0^n (-1)^j binomnj = 0
Essa identidade é válida porque é o desenvolvimento do binômio sumj=k^n (-1)^j binomnj = sumj=0^n (-1)^j binomnj - sumj=0^k-1 (-1)^j binomnj . Mas nossa soma começa em sumj=k^n (-1)^j binomnj = - sumj=0^k-1 (-1)^j binomnj e não de . Então, podemos reescrever a nossa soma subtraindo a parte que falta:
Usando a identidade acima, sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos focar na soma sumj=0^m (-1)^j binomnj = (-1)^m binomn-1m . Para simplificar, vamos usar a seguinte identidade:
sumj=0^k-1 (-1)^j binomnj = (-1)^k-1 binomn-1k-1
Essa identidade pode ser derivada usando o princípio da inclusão-exclusão ou propriedades dos coeficientes binomiais.
Aplicando essa identidade com :

Passo 5

Substituindo de volta na expressão que tínhamos:
sumj=k^n (-1)^j binomnj = - ( (-1)^k-1 binomn-1k-1 ) = (-1)^k binomn-1k-1
Lembre-se que , então ao multiplicar por , invertemos o sinal.

Passo 6

Lembrando que no Passo 2 fatoramos sumj=k^n (-1)^j+k binomnj = (-1)^k cdot (-1)^k binomn-1k-1 = binomn-1k-1 , temos:
Os se cancelam porque .

Resposta

Portanto, mostramos que:
sumj=k^n (-1)^j+k binomnj = binomn-1k-1

Exercícios relacionados