Prove as regras de derivação complexas (Note que são iguais as regras do cálculo!): se f e g são analíticas, então:
e) Uma função com derivada zero em toda uma região é constante (Dica: Use por exemplo que f^prime(z)=partial upartial x+i partial vpartial x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que uma função analítica com derivada zero em toda uma região é constante. Isso está no ramo do Cálculo Complexo, especificamente lidando com funções analíticas. Para resolver isso, vamos precisar usar as condições de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a entender o comportamento das partes real e imaginária de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a função analítica como , onde é a parte real e é a parte imaginária de . Aqui, , com e sendo números reais.

Passo 3

Segundo a dica do enunciado, a derivada de f'(z) = partial upartial x + i partial vpartial x em relação a partial upartial x = 0 e partial vpartial x = 0 é dada por:
Mas como estamos supondo que em toda a região, isso implica que:

Passo 4

Agora, vamos lembrar das condições de Cauchy-Riemann, que dizem que para partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x ser analítica, as derivadas parciais devem satisfazer:
Como já sabemos que e , podemos substituir esses valores nas condições de Cauchy-Riemann.

Passo 5

Substituindo na primeira condição:
0 = partial vpartial y
E na segunda condição:
partial upartial y = -0 implies partial upartial y = 0
Isso nos mostra que todas as derivadas parciais de e em relação a e são zero.

Passo 6

Se todas as derivadas parciais de e são zero, isso significa que e não mudam em relação a e . Ou seja, e são constantes em toda a região considerada.

Passo 7

Portanto, também é constante, já que tanto quanto são constantes.

Resposta

Assim, provamos que uma função analítica com derivada zero em toda uma região é constante.

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