Prove as regras de derivação complexas (Note que são iguais as regras do cálculo!): se f e g são analíticas, então:
c) Se g(z0) neq 0, então fg é analítica em z0 e
(fg)^prime(z0)=f^prime(z0) g(z0)-f(z0) g^prime(z0)g^2(z0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos duas funções analíticas, e , e queremos provar uma regra de derivação para o quociente delas quando . Basicamente, a gente vai mostrar que também é analítica em e encontrar a expressão para a sua derivada nesse ponto. Para isso, vamos precisar usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre funções analíticas e como derivadas funcionam nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser analítica em um ponto. Uma função é analítica em se ela é diferenciável naquele ponto e em um entorno ao redor dele. Isso é importante porque se e são analíticas, elas têm derivadas bem definidas em .

Passo 3

Agora, queremos provar que é analítica em quando . Para isso, vamos utilizar a propriedade de que o quociente de duas funções analíticas é analítico onde o denominador não é zero. Como , podemos afirmar que existe um entorno de onde também não é zero, garantindo que seja analítica nesse entorno.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada de (fg)^prime(z0) = limz to z0 f(z)g(z) - f(z0)g(z0)z - z0 em . Para isso, usamos a definição da derivada para quocientes. A derivada de em é dada por:

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, combinamos as frações no numerador:
f(z)g(z0) - f(z0)g(z)g(z)g(z0)(z - z0)
Agora, podemos reescrever a expressão dividindo e multiplicando por f(z)g(z0) - f(z0)g(z)(z - z0)g(z)g(z0) :

Passo 6

Vamos separar os termos do numerador:
f(z)g(z0) - f(z0)g(z0) + f(z0)g(z0) - f(z0)g(z)(z - z0)g(z)g(z0)
Isso fica:
f(z)(g(z0) - g(z)) + g(z)(f(z) - f(z0))(z - z0)g(z)g(z0)

Passo 7

Agora, separamos as frações:
f(z)(g(z0) - g(z))(z - z0)g(z)g(z0) + g(z)(f(z) - f(z0))(z - z0)g(z)g(z0)
Simplificando:
f(z)g(z) cdot g(z) - g(z0)z - z0 + f(z) - f(z0)z - z0 cdot 1g(z0)

Passo 8

Tomando o limite quando (fg)^prime(z0) = f(z0)g'(z0) - f'(z0)g(z0)g(z0)^2 , sabemos que e são diferenciáveis, então:

Resposta

A derivada de (fg)^prime(z0) = f^prime(z0) g(z0) - f(z0) g^prime(z0)g^2(z0) em é

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