Sabendo que f^prime(a)=lim x a f(x)-f(a)x-a. Calcule f^prime(a) em cada caso:
(b) f(x)=raizx e a=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada de no ponto . A gente vai usar o conceito de derivada, que basicamente mede a taxa de variação da função naquele ponto. Vamos precisar aplicar a definição de derivada usando o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição da derivada:
f^prime(a) = lim x a f(x) - f(a)x - a
No nosso caso, e . Então, vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 3

Substituindo na definição, temos:
f^prime(1) = lim x 1 raizx - raiz1x - 1 = lim x 1 raizx - 1x - 1
Agora, nosso objetivo é calcular esse limite.

Passo 4

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela conjugada do numerador para simplificar a expressão. A conjugada de é .

Passo 5

Multiplicando numerador e denominador pela conjugada:
lim x 1 raizx - 1x - 1 times raizx + 1raizx + 1 = lim x 1 (raizx)^2 - 1^2(x - 1)(raizx + 1) = lim x 1 x - 1(x - 1)(raizx + 1)
Os termos lim x 1 1raizx + 1 cancelam, ficando:

Passo 6

Agora, podemos substituir 1raiz1 + 1 = 11 + 1 = 12 por 1 diretamente na expressão simplificada:

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados