Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos
:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente provar que, para todo número complexo
, a parte real de
é igual a
. Isso está ligado ao estudo dos números complexos e suas partes real e imaginária. Para resolver, vamos precisar entender como representar um número complexo e como calcular sua parte real utilizando a conjugada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a forma geral de um número complexo. Um número complexo
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária, e
é a unidade imaginária com
.
Passo 3
Agora, a conjugada de
, denotada por
, é obtida mudando o sinal da parte imaginária. Então,
.
Passo 4
Vamos somar
e
:
Passo 5
Agora, dividimos essa soma por 2:
Passo 6
Perceba que
é justamente a parte real de
, ou seja,
.
Resposta
Assim, mostramos que
para todo número complexo
.
Exercícios relacionados
Encontre os seguintes valores
a)
a)
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
Encontre os seguintes valores
c)
c)
Encontre os seguintes valores
d)
d)