Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar no plano complexo todos os números
que satisfazem
. Então, vamos trabalhar com números complexos, entender o que significa a parte real de
e como representar isso no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como representa um número complexo. Podemos escrever
como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária de
. Aqui,
e
são números reais, e
é a unidade imaginária, que satisfaz
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Usando a expressão de
:
Lembrando que
, então:
Passo 4
A parte real de
é
. A condição dada é que essa parte real seja maior que zero:
Então, precisamos encontrar todos os pares
que satisfazem
.
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade
. Podemos reescrever isso como:
Isso significa que o valor absoluto de
deve ser maior que o valor absoluto de
:
Passo 6
No plano complexo,
representa o eixo real e
o eixo imaginário. A condição
descreve duas regiões:
- Região onde
e : Aqui, é positivo e maior que e maior que . - Região onde
e : Aqui, é negativo e menor que e menor que .
Isso corresponde às áreas entre as linhas
e
no plano complexo.
Passo 7
Para visualizar, desenhe o plano complexo com os eixos
e
. Trace as linhas
e
. As regiões que satisfazem
ficam fora do “X” formado por essas duas linhas, ou seja, as áreas próximas ao eixo real e longe do eixo imaginário.
Resposta
O conjunto dos números
que satisfazem
são todos os pontos no plano complexo que estão nas regiões entre as linhas
e
, ou seja, onde
.
Exercícios relacionados
Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
d) nem injetora nem sobrejetora
d) nem injetora nem sobrejetora
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números
tais que:
.
Encontre os seguintes valores
a)
a)
Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos
:
.