Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente desenhar no plano complexo todos os números que satisfazem . Então, vamos trabalhar com números complexos, entender o que significa a parte real de e como representar isso no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como representa um número complexo. Podemos escrever como , onde é a parte real e é a parte imaginária de . Aqui, e são números reais, e é a unidade imaginária, que satisfaz .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Usando a expressão de :
Lembrando que , então:

Passo 4

A parte real de é . A condição dada é que essa parte real seja maior que zero:
Então, precisamos encontrar todos os pares que satisfazem .

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade . Podemos reescrever isso como:
Isso significa que o valor absoluto de deve ser maior que o valor absoluto de :

Passo 6

No plano complexo, representa o eixo real e o eixo imaginário. A condição descreve duas regiões:
  1. Região onde e : Aqui, é positivo e maior que e maior que .
  2. Região onde e : Aqui, é negativo e menor que e menor que .
Isso corresponde às áreas entre as linhas e no plano complexo.

Passo 7

Para visualizar, desenhe o plano complexo com os eixos e . Trace as linhas e . As regiões que satisfazem ficam fora do “X” formado por essas duas linhas, ou seja, as áreas próximas ao eixo real e longe do eixo imaginário.

Resposta

O conjunto dos números que satisfazem são todos os pontos no plano complexo que estão nas regiões entre as linhas e , ou seja, onde .

Exercícios relacionados

Dê um exemplo usando fórmula explícita para uma função do conjunto dos inteiros que seja:
d) nem injetora nem sobrejetora
Para cada item, represente no plano complexo o conjunto dos números tais que: .
Encontre os seguintes valores
a)
Prove que as seguintes igualdades são válidas para todos : .