Prove that if a body is composed of two or more parts whose centers of mass are known, then the center of mass of the composite body can be computed by regarding its component parts as single particles located at their respective centers of mass. Assume that each component part k is described by a density rhok(r) of mass continuously distributed over the region occupied by part k.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um corpo composto por duas ou mais partes, e conhecemos os centros de massa de cada uma dessas partes. A tarefa é provar que o centro de massa do corpo todo pode ser calculado considerando cada parte como se fosse uma partícula única localizada no seu respectivo centro de massa. Para resolver isso, vamos precisar utilizar conceitos de centro de massa e como ele é calculado para sistemas com massa distribuída.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como se calcula o centro de massa de um objeto. O centro de massa é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas que compõem o objeto, considerando suas massas. Matematicamente, para um sistema contínuo, o centro de massa R é dado por:
R = 1M integral r , dm
onde M é a massa total do sistema e r é a posição de um elemento de massa dm.

Passo 3

No caso do nosso corpo composto por n partes, cada parte k tem sua própria densidade rhok(r) e massa Mk. O centro de massa de cada parte k é Rk, definido por:
Rk = 1Mk integral r , dmk
onde dmk = rhok(r) , dV é um elemento de massa da parte k.

Passo 4

A massa total do corpo composto é a soma das massas de todas as partes:
M = sumk=1^n Mk
Isso porque a massa total é simplesmente a adição das massas individuais quando as partes não se sobrepõem.

Passo 5

Agora, vamos calcular o centro de massa do corpo todo usando a definição geral. Substituindo dm pela soma dos dmk, temos:
R = 1M integral r , dm = 1M sumk=1^n integral r , dmk

Passo 6

Utilizando a definição do centro de massa de cada parte, substituímos integral r , dmk por Mk Rk:
R = 1M sumk=1^n Mk Rk

Passo 7

Finalmente, percebemos que o centro de massa do corpo composto é uma média ponderada dos centros de massa das partes, ponderada pelas massas Mk. Isso significa que podemos tratar cada parte como uma partícula pontual localizada em seu centro de massa Rk para calcular o centro de massa total.

Resposta

O centro de massa do corpo composto é dado por:
R = 1M sumk=1^n Mk Rk

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