Prove, por um processo análogo ao usado no texto para provar a relação de Stifel, que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar a seguinte relação combinatória:
Aqui, estamos lidando com combinações, que é um conceito da combinatória, uma área da matemática que estuda as formas de contar e organizar elementos. Para resolver isso, vamos usar um processo parecido com o que foi usado para provar a relação de Stifel, que essencialmente envolve quebrar o problema em partes menores e analisar cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa $ C_{n}^{p} $. Essa notação representa o número de combinações de $ n $ elementos tomados $ p $ de cada vez, ou seja:
Isso nos dá a quantidade de maneiras diferentes de escolher $ p $ elementos de um conjunto de $ n $ elementos, sem se preocupar com a ordem.
Passo 3
Agora, vamos analisar o lado esquerdo da nossa equação: $ C_{n+2}^{p+2} $. Isso representa o número de maneiras de escolher $ p+2 $ elementos de um conjunto com $ n+2 $ elementos.
Para provar a igualdade, vamos dividir esse conjunto de $ n+2 $ elementos em partes menores e contar de maneiras diferentes como podemos selecionar os $ p+2 $ elementos.
Passo 4
Vamos imaginar que no conjunto de $ n+2 $ elementos, temos dois elementos especiais, digamos A e B. Queremos contar todas as combinações de $ p+2 $ elementos que incluem A e B de diferentes maneiras.
Existem três cenários possíveis:
- Nenhum dos dois elementos especiais está na combinação.
- Apenas um dos dois elementos especiais está na combinação.
- Ambos os elementos especiais estão na combinação.
Vamos contar cada um desses casos separadamente.
Passo 5
Caso 1: Nenhum dos dois elementos especiais está na combinação.
Se nem A nem B estão na combinação, então estamos escolhendo todos os $ p+2 $ elementos apenas dos demais $ n $ elementos. O número de maneiras de fazer isso é:
Passo 6
Caso 2: Apenas um dos dois elementos especiais está na combinação.
Aqui, temos duas possibilidades: ou A está na combinação e B não está, ou B está na combinação e A não está. Vamos contar cada uma dessas possibilidades:
-
A está na combinação, B não está: Nesse caso, já escolhemos A, então precisamos escolher os outros $ p+1 $ elementos dos $ n $ restantes. O número de maneiras é $ C_{n}^{p+1} $.
-
B está na combinação, A não está: Da mesma forma, já escolhemos B, então escolhemos os outros $ p+1 $ elementos dos $ n $ restantes. Novamente, temos $ C_{n}^{p+1} $ maneiras.
Como são dois cenários distintos, somamos as duas contagens:
Passo 7
Caso 3: Ambos os elementos especiais estão na combinação.
Nesse caso, já escolhemos A e B, então precisamos escolher os outros $ p $ elementos dos $ n $ restantes. O número de maneiras de fazer isso é:
Passo 8
Agora, para encontrar o total de combinações que incluem $ p+2 $ elementos dos $ n+2 $ elementos originais, somamos os resultados dos três casos:
Resposta
Portanto, mostramos que: