Prove, por um processo análogo ao usado no texto para provar a relação de Stifel, que
Cn+2^p+2=Cn^p+2 Cn^p+1+Cn^p+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente provar a seguinte relação combinatória:
Cn+2^p+2 = Cn^p + 2 Cn^p+1 + Cn^p+2
Aqui, estamos lidando com combinações, que é um conceito da combinatória, uma área da matemática que estuda as formas de contar e organizar elementos. Para resolver isso, vamos usar um processo parecido com o que foi usado para provar a relação de Stifel, que essencialmente envolve quebrar o problema em partes menores e analisar cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa $ C_{n}^{p} $. Essa notação representa o número de combinações de $ n $ elementos tomados $ p $ de cada vez, ou seja:
Cn^p
Isso nos dá a quantidade de maneiras diferentes de escolher $ p $ elementos de um conjunto de $ n $ elementos, sem se preocupar com a ordem.

Passo 3

Agora, vamos analisar o lado esquerdo da nossa equação: $ C_{n+2}^{p+2} $. Isso representa o número de maneiras de escolher $ p+2 $ elementos de um conjunto com $ n+2 $ elementos.
Para provar a igualdade, vamos dividir esse conjunto de $ n+2 $ elementos em partes menores e contar de maneiras diferentes como podemos selecionar os $ p+2 $ elementos.

Passo 4

Vamos imaginar que no conjunto de $ n+2 $ elementos, temos dois elementos especiais, digamos A e B. Queremos contar todas as combinações de $ p+2 $ elementos que incluem A e B de diferentes maneiras.
Existem três cenários possíveis:
  1. Nenhum dos dois elementos especiais está na combinação.
  2. Apenas um dos dois elementos especiais está na combinação.
  3. Ambos os elementos especiais estão na combinação.
Vamos contar cada um desses casos separadamente.

Passo 5

Caso 1: Nenhum dos dois elementos especiais está na combinação.
Se nem A nem B estão na combinação, então estamos escolhendo todos os $ p+2 $ elementos apenas dos demais $ n $ elementos. O número de maneiras de fazer isso é:
p+2

Passo 6

Caso 2: Apenas um dos dois elementos especiais está na combinação.
Aqui, temos duas possibilidades: ou A está na combinação e B não está, ou B está na combinação e A não está. Vamos contar cada uma dessas possibilidades:
  • A está na combinação, B não está: Nesse caso, já escolhemos A, então precisamos escolher os outros $ p+1 $ elementos dos $ n $ restantes. O número de maneiras é $ C_{n}^{p+1} $.
  • B está na combinação, A não está: Da mesma forma, já escolhemos B, então escolhemos os outros $ p+1 $ elementos dos $ n $ restantes. Novamente, temos $ C_{n}^{p+1} $ maneiras.
Como são dois cenários distintos, somamos as duas contagens:
p+1

Passo 7

Caso 3: Ambos os elementos especiais estão na combinação.
Nesse caso, já escolhemos A e B, então precisamos escolher os outros $ p $ elementos dos $ n $ restantes. O número de maneiras de fazer isso é:
p

Passo 8

Agora, para encontrar o total de combinações que incluem $ p+2 $ elementos dos $ n+2 $ elementos originais, somamos os resultados dos três casos:
p+2

Resposta

Portanto, mostramos que:
Cn+2^p+2 = Cn^p + 2 Cn^p+1 + Cn^p+2

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