Prove usando a variante do exercício 2.2 .3 da indução que qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser obtido com cédulas de 5 e 3 reais (dica: bases
)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para provar que qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser formado usando cédulas de 5 e 3 reais. Vamos usar um método chamado indução matemática, especialmente uma variação dele. Para isso, precisamos verificar alguns casos básicos e depois mostrar que, se funciona para certos números, funciona para todos os maiores também.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir os casos básicos que o problema sugeriu: 8, 9 e 10 reais.
- Para 8 reais, podemos usar uma cédula de 5 e uma de 3:
. - Para 9 reais, podemos usar três cédulas de 3:
. - Para 10 reais, podemos usar duas cédulas de 5:
.
Viu? Já conseguimos representar 8, 9 e 10 reais com as cédulas disponíveis.
Passo 3
Agora, vamos assumir que para algum número
, já conseguimos formar os valores
,
e
usando as cédulas de 5 e 3 reais. Isso é a parte da indução forte, onde assumimos que vários passos anteriores funcionam.
Passo 4
Queremos provar que
também pode ser formado. Como já assumimos que conseguimos formar
, podemos simplesmente adicionar uma cédula de 3 reais:
Isso mostra que se conseguimos formar
, então conseguimos formar
.
Passo 5
Como mostramos que:
- Os casos básicos (8, 9, 10 reais) funcionam.
- Se funciona para
, , e , também funciona para .
Por indução, qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser obtido com cédulas de 5 e 3 reais.
Resposta
Assim, provamos que qualquer valor maior ou igual a 8 reais pode ser formado com cédulas de 5 e 3 reais usando indução matemática!
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.
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