Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial envolvendo as variáveis
e
. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que facilite a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão
. A equação dada é:
Subtraindo os termos do lado direito para o lado esquerdo, temos:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de uma das variáveis, digamos
. O fator integrante pode ser encontrado usando a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Parece complicado, mas percebemos que o fator integrante dependerá de
. Vamos simplificar:
Para simplificar, assumimos que o fator integrante é uma função de
, o que nos permite prosseguir.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
para torná-la exata:
Agora, a equação é exata, o que significa que existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
. Após integrar e simplificar, obtemos a solução geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária. A forma explícita de
dependerá da integral realizada no passo anterior.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor inicial:
.
Resolva os problemas de valor inicial:
, com
Resolva as equações diferenciais.
Prove usando a variante do exercício 2.2 .3 da indução que qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser obtido com cédulas de 5 e 3 reais (dica: bases
)