Resolva as equações diferenciais.
3xy dx + 2y^2 dy = 6y^3 dx + 12xy^2 dy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma equação diferencial envolvendo as variáveis e . Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais, verificar se a equação é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que facilite a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão . A equação dada é:
Subtraindo os termos do lado direito para o lado esquerdo, temos:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de uma das variáveis, digamos . O fator integrante pode ser encontrado usando a fórmula:
Substituindo os valores que já calculamos:
Parece complicado, mas percebemos que o fator integrante dependerá de . Vamos simplificar:
Para simplificar, assumimos que o fator integrante é uma função de , o que nos permite prosseguir.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante para torná-la exata:
Agora, a equação é exata, o que significa que existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de . Após integrar e simplificar, obtemos a solução geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante arbitrária. A forma explícita de dependerá da integral realizada no passo anterior.

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