Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você enviou:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Pra resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, isso ajuda a transformar a equação num formato mais fácil de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Pra isso, vamos dividir toda a equação por
, já que
:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
), que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Como
, podemos simplificar para:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com
:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é
, onde
é a constante de integração:
Passo 6
Para encontrar
, vamos dividir ambos os lados por
:
Podemos simplificar mais:
Ou de forma mais elegante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.
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.
Prove usando a variante do exercício 2.2 .3 da indução que qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser obtido com cédulas de 5 e 3 reais (dica: bases
)
Demonstre usando indução: para todo
.