Resolva as equações diferenciais.
x dy/dx + (3x + 1)y = e^(-3x), x > 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você enviou:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Pra resolver, a gente vai precisar usar o método do fator integrante. Basicamente, isso ajuda a transformar a equação num formato mais fácil de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação linear de primeira ordem, que é:
Pra isso, vamos dividir toda a equação por , já que :
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ), que é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então, o fator integrante é:
Como , podemos simplificar para:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto do fator integrante com :

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é , onde é a constante de integração:

Passo 6

Para encontrar , vamos dividir ambos os lados por :
Podemos simplificar mais:
Ou de forma mais elegante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva as equações diferenciais.
3xy dx + 2y^2 dy = 6y^3 dx + 12xy^2 dy
Resolva os problemas de valor inicial:
x dy/dx - (1+x) y = x y^2, x > 0, y(1) = e.
Prove usando a variante do exercício 2.2 .3 da indução que qualquer valor maior ou igual a 8 pode ser obtido com cédulas de 5 e 3 reais (dica: bases 8, 9, 10 )
Demonstre usando indução: para todo n ≥ 1,9 + 9 * 10 + 9 * 10^(2) + ... + 9 * 10^(n-1) = 10^(n) - 1.