psi(x, t)=(m omegapi hbar)^1 / 4 exp -m omega2 hbar x^2-i omega t2
onde V=m omega^2 x^22 em -infty. Use esses cálculos para encontar a energia total do sistema e discuta se esta energia deve ser constante ou não. Se for constante, isto viola o princípio de incerteza De= hbar / 2 ? O que está acontecendo?.
Obs.: Faça todas as integrais sempre iniciando em x (inclusive d x ) para não cometer nenhum erro de dimensão, pois já foi fornecida a constante de normalização.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está sendo perguntado aqui! Temos uma função de onda psi(x, t) para um sistema quântico com potencial V = m omega^2 x^22, que é o potencial de um oscilador harmônico. A gente precisa encontrar a energia total desse sistema e discutir se essa energia permanece constante ou não. Além disso, se ela for constante, temos que verificar se isso viola o princípio da incerteza De= hbar / 2. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia em mecânica quântica, operadores de energia, e o princípio da incerteza.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um sistema quântico é dada pelo valor esperado do operador Hamiltoniano $ \hat{H} $. No caso do oscilador harmônico, o Hamiltoniano é:
H
Aqui, $ \hat{T} $ é o operador de energia cinética e $ \hat{V} $ é o operador de energia potencial.

Passo 3

Vamos calcular o valor esperado da energia total, que é:
lang<= H rang<= = integral-infty^infty psi^*(x, t) H psi(x, t) , dx
Onde $ \psi^{*}(x, t) $ é a conjugada complexa de $ \psi(x, t) $.

Passo 4

Primeiro, vamos observar a forma da função de onda $ \psi(x, t) $:
psi(x, t)
Essa é a função de onda do estado fundamental (n=0) do oscilador harmônico, onde a energia é conhecida e igual a $ E = \frac{\hbar \omega}{2} $.

Passo 5

No estado fundamental, a energia total é constante no tempo, já que a função de onda é uma solução estacionária da equação de Schrödinger. Isso significa que:
lang<= H rang<= = E = hbar omega2
Portanto, a energia total do sistema é $ \frac{\hbar \omega}{2} $ e não depende do tempo.

Passo 6

Agora, vamos verificar se essa energia constante viola o princípio da incerteza De= hbar / 2. No estado fundamental, a incerteza na energia $ \Delta E $ é zero, já que a energia é perfeitamente definida. No entanto, o tempo $ \Delta t $ associado a essa medição de energia é indefinido ou infinito, o que mantém a desigualdade do princípio da incerteza válida:
De
Isso não viola o princípio, porque não há uma incerteza real envolvendo energia e tempo nesse contexto específico.

Resposta

A energia total do sistema é constante e igual a hbar omega2. Isso não viola o princípio da incerteza, pois a incerteza em energia é zero enquanto a indeterminação no tempo é infinita, mantendo a desigualdade De= hbar / 2 válida.

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