onde
em
. Use esses cálculos para encontar a energia total do sistema e discuta se esta energia deve ser constante ou não. Se for constante, isto viola o princípio de incerteza
? O que está acontecendo?.
Obs.: Faça todas as integrais sempre iniciando em
(inclusive
) para não cometer nenhum erro de dimensão, pois já foi fornecida a constante de normalização.
Obs.: Faça todas as integrais sempre iniciando em
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está sendo perguntado aqui! Temos uma função de onda
para um sistema quântico com potencial
, que é o potencial de um oscilador harmônico. A gente precisa encontrar a energia total desse sistema e discutir se essa energia permanece constante ou não. Além disso, se ela for constante, temos que verificar se isso viola o princípio da incerteza
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de energia em mecânica quântica, operadores de energia, e o princípio da incerteza.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total de um sistema quântico é dada pelo valor esperado do operador Hamiltoniano $ \hat{H} $. No caso do oscilador harmônico, o Hamiltoniano é:
Aqui, $ \hat{T} $ é o operador de energia cinética e $ \hat{V} $ é o operador de energia potencial.
Passo 3
Vamos calcular o valor esperado da energia total, que é:
Onde $ \psi^{*}(x, t) $ é a conjugada complexa de $ \psi(x, t) $.
Passo 4
Primeiro, vamos observar a forma da função de onda $ \psi(x, t) $:
Essa é a função de onda do estado fundamental (n=0) do oscilador harmônico, onde a energia é conhecida e igual a $ E = \frac{\hbar \omega}{2} $.
Passo 5
No estado fundamental, a energia total é constante no tempo, já que a função de onda é uma solução estacionária da equação de Schrödinger. Isso significa que:
Portanto, a energia total do sistema é $ \frac{\hbar \omega}{2} $ e não depende do tempo.
Passo 6
Agora, vamos verificar se essa energia constante viola o princípio da incerteza
. No estado fundamental, a incerteza na energia $ \Delta E $ é zero, já que a energia é perfeitamente definida. No entanto, o tempo $ \Delta t $ associado a essa medição de energia é indefinido ou infinito, o que mantém a desigualdade do princípio da incerteza válida:
Isso não viola o princípio, porque não há uma incerteza real envolvendo energia e tempo nesse contexto específico.
Resposta
A energia total do sistema é constante e igual a
. Isso não viola o princípio da incerteza, pois a incerteza em energia é zero enquanto a indeterminação no tempo é infinita, mantendo a desigualdade
válida.