(0,5 pt) Considerando
, quantas iterações o método de Newton realizará ao tentar encontrar uma aproximação para a raiz da equação
? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos descobrir quantas vezes o Método de Newton precisa rodar para achar a raiz dessa função, ou seja, o valor de
que faz
. Para isso, vamos usar o que sabemos sobre o Método de Newton e aplicar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. Ele é uma técnica iterativa usada para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função. A fórmula básica do Método de Newton é:
Aqui,
é a nossa estimativa atual da raiz,
é o valor da função nesse ponto, e
é a derivada da função nesse ponto.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, calculamos a derivada:
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Simplificando:
Viu? Não importa qual foi a estimativa inicial
, na primeira iteração já chegamos exatamente em
, que é a raiz de
.
Resposta
O Método de Newton encontra a raiz em 1 iteração.