(0,5 pt) Considerando f(x) = 4x - 1, quantas iterações o método de Newton realizará ao tentar encontrar uma aproximação para a raiz da equação f(x) = 0 ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos descobrir quantas vezes o Método de Newton precisa rodar para achar a raiz dessa função, ou seja, o valor de que faz . Para isso, vamos usar o que sabemos sobre o Método de Newton e aplicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o Método de Newton. Ele é uma técnica iterativa usada para encontrar aproximações sucessivas de raízes de uma função. A fórmula básica do Método de Newton é:
Aqui, é a nossa estimativa atual da raiz, é o valor da função nesse ponto, e é a derivada da função nesse ponto.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, calculamos a derivada:
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton:
Simplificando:
Viu? Não importa qual foi a estimativa inicial , na primeira iteração já chegamos exatamente em , que é a raiz de .

Resposta

O Método de Newton encontra a raiz em 1 iteração.

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