Encontre uma solução particular para a equação diferencial dada, utilizando o método dos coeficientes indeterminados.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma solução particular para a equação diferencial
, usando o método dos coeficientes indeterminados. Isso está dentro da matéria de Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar esse método para encontrar uma função específica que resolve a equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes tem a forma
. No nosso caso,
,
e
. O método dos coeficientes indeterminados é usado quando
é uma função que aparece na tabela de funções para as quais já sabemos a solução particular, como senos, cossenos, exponenciais e polinômios.
Passo 3
Como
, vamos assumir uma solução particular da forma
, onde
e
são coeficientes que precisamos determinar. Essa forma é escolhida porque a parte não homogênea é um seno com frequência 3.
Passo 4
Agora, vamos derivar
para substituir na equação diferencial:
Substituindo
,
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes das funções trigonométricas de ambos os lados:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução particular para a equação diferencial é
.