(1,0 pt) Explique como podemos utilizar a decomposição LU de uma matriz A para resolver o sistema linear A x = b.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos explicar como a decomposição LU de uma matriz pode ser usada para resolver o sistema linear . Para isso, vamos precisar conhecer o que é a decomposição LU e como ela facilita a resolução de sistemas lineares.

Passo 2

A decomposição LU consiste em quebrar a matriz em duas matrizes: uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior , de forma que . Isso é útil porque resolver sistemas com matrizes triangulares é mais simples.

Passo 3

Depois de decompor em e , o sistema se transforma em:
Vamos chamar de . Assim, temos dois sistemas para resolver:
  1. Primeiro sistema:
    Como é uma matriz triangular inferior, podemos resolver esse sistema por substituição progressiva. Isso significa que começamos resolvendo para a primeira variável e seguimos substituindo nas próximas equações.
  2. Segundo sistema:
    Agora, com conhecido, resolvemos para . Como é uma matriz triangular superior, usamos a substituição regressiva, começando da última equação e indo para as anteriores.

Passo 4

Esse método é eficiente porque a decomposição LU permite resolver sistemas lineares de forma mais rápida, especialmente quando precisamos resolver múltiplos sistemas com a mesma matriz mas diferentes vetores .

Resposta

Usando a decomposição LU de , resolvemos primeiro resolvendo para através de substituição progressiva e depois para encontrar usando substituição regressiva.

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