(1,0 pt) Explique como podemos utilizar a decomposição LU de uma matriz
para resolver o sistema linear
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos explicar como a decomposição LU de uma matriz
pode ser usada para resolver o sistema linear
. Para isso, vamos precisar conhecer o que é a decomposição LU e como ela facilita a resolução de sistemas lineares.
Passo 2
A decomposição LU consiste em quebrar a matriz
em duas matrizes: uma matriz triangular inferior
e uma matriz triangular superior
, de forma que
. Isso é útil porque resolver sistemas com matrizes triangulares é mais simples.
Passo 3
Depois de decompor
em
e
, o sistema
se transforma em:
Vamos chamar
de
. Assim, temos dois sistemas para resolver:
-
Primeiro sistema:Como
é uma matriz triangular inferior, podemos resolver esse sistema por substituição progressiva. Isso significa que começamos resolvendo para a primeira variável e seguimos substituindo nas próximas equações. -
Segundo sistema:Agora, com
conhecido, resolvemos para . Como é uma matriz triangular superior, usamos a substituição regressiva, começando da última equação e indo para as anteriores.
Passo 4
Esse método é eficiente porque a decomposição LU permite resolver sistemas lineares de forma mais rápida, especialmente quando precisamos resolver múltiplos sistemas com a mesma matriz
mas diferentes vetores
.
Resposta
Usando a decomposição LU de
, resolvemos
primeiro resolvendo
para
através de substituição progressiva e depois
para encontrar
usando substituição regressiva.