(1,0 pt) Independente do ponto inicial, podemos afirmar que o Método de Newton convergirá? Justifique! Justificativas geométricas serão aceitas.

Passo 1

O enunciado pergunta se, independentemente do ponto inicial, o Método de Newton sempre converge. Vamos analisar o Método de Newton, que é usado para encontrar raízes de funções, e ver se sempre funciona, não importa de onde a gente comece.

Passo 2

Primeiro, o que é o Método de Newton? É uma técnica iterativa para aproximar as raízes de uma função . A ideia é começar com um chute inicial e melhorar esse chute usando a fórmula:
Aqui, é a derivada de . A gente repete esse processo até chegar perto o suficiente da raiz.

Passo 3

Agora, vamos pensar na convergência. Convergência significa que, conforme fazemos as iterações, nossos valores estão se aproximando da raiz verdadeira da função. Para que isso aconteça de maneira garantida, algumas condições precisam ser satisfeitas, como a função ser bem comportada perto da raiz e a derivada não ser zero.

Passo 4

Mas, e se a gente escolher um ponto inicial ruim? Dependendo desse chute inicial , o Método de Newton pode não convergir. Por exemplo, se a derivada for zero ou muito próxima de zero no chute, a fórmula falha porque a gente não pode dividir por zero. Além disso, para algumas funções, o processo pode oscilar ou divergir, afastando-se da raiz em vez de se aproximar dela.

Passo 5

Geometricamente, imagine que a tangente à curva no ponto inicial não intercepta a função perto da raiz desejada. Isso pode levar a saltos grandes que não chegam em lugar nenhum útil, ou até mesmo a ciclos sem fim sem alcançar a raiz.

Resposta

Não, o Método de Newton não converge independentemente do ponto inicial. A convergência depende da escolha adequada do ponto inicial e das características da função.

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