(2,0 pt) Determine para que valores de a e b a matriz
(4 a 1) (b 4 1) (1 1 1)
admite decomposição de Cholesky.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os valores de e que fazem com que a matriz
admita uma decomposição de Cholesky. Isso significa que queremos saber quando essa matriz é simétrica e positiva definida, porque essas são as condições necessárias para a decomposição de Cholesky. Vamos precisar entender um pouco sobre matrizes simétricas e critérios de positividade definida para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se a matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica quando ela é igual à sua transposta, ou seja, o elemento é igual a para todos os e . Olhando para a nossa matriz:
Vemos que para ser simétrica, precisamos que . Caso contrário, a matriz não será simétrica e, portanto, não poderá ter uma decomposição de Cholesky. Então, já sabemos que deve ser igual a .

Passo 3

Agora que sabemos que , vamos verificar quando a matriz é positiva definida. Uma forma de garantir que uma matriz simétrica é positiva definida é checar se todos os seus menores principais (determinantes das submatrizes principais) são positivos.
Primeiro, olhamos para o menor principal de ordem 1, que é apenas o elemento . Claro que , então está tudo certo.

Passo 4

Em seguida, olhamos para o menor principal de ordem 2, que é a submatriz:
O determinante dessa submatriz é . Para que seja positivo, precisamos que , ou seja, . Isso significa que .

Passo 5

Por último, vamos verificar o determinante da matriz completa para garantir que a matriz toda seja positiva definida. Calculando o determinante:
Usando a regra de Sarrus ou expansão por menores, encontramos que o determinante é , que simplifica para .
Para que o determinante seja positivo:
Isso é uma inequação quadrática. Resolvendo , podemos reescrever como . Encontrando as raízes da equação , temos:
Então, ou . A inequação é satisfeita para .

Resposta

Para a matriz admitir decomposição de Cholesky, os valores devem satisfazer e .

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