Considere um anel fino na forma de uma circunferência de raio R, e com carga uniforme
. a) Obtenha a expressão para o campo elétrico gerado pelo anel em um ponto situado a uma distância
do centro do anel e sobre seu eixo de simetria.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel fino com carga total
distribuída uniformemente e raio
. Queremos encontrar a expressão para o campo elétrico gerado por esse anel em um ponto que está a uma distância
do centro do anel, ao longo do seu eixo de simetria. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de campo elétrico devido a distribuições de carga simétricas e a superposição dos campos elétricos.
Passo 2
Imagine dividir o anel em pequenos elementos de carga
. Cada um desses elementos produz um campo elétrico
no ponto
localizado a uma distância
do centro do anel. Devido à simetria, as componentes laterais do campo se cancelam, deixando apenas a componente ao longo do eixo de simetria, que vamos chamar de
.
Passo 3
Para cada elemento de carga
, a componente do campo elétrico na direção
é dada por:
Aqui,
é a constante de permissividade do vácuo, e a expressão vem da Lei de Coulomb aplicada a elementos de carga.
Passo 4
Agora, para encontrar o campo total
, integramos
ao longo de todo o anel. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos substituir
por
, onde
é o ângulo que parametriza o anel.
Passo 5
Integrando de
a
, temos:
Como a integral de
de
a
é
, simplificamos:
Resposta
A expressão para o campo elétrico gerado pelo anel no ponto desejado é:
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(a) , (b)
, ©
, (d)
.
(a)