(1,5 pts) Considere um anel fino na forma de uma circunferência de raio R, e com carga uniforme q. a) Obtenha a expressão para o campo elétrico gerado pelo anel em um ponto situado a uma distância x do centro do anel e sobre seu eixo de simetria.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um anel fino com carga total distribuída uniformemente e raio . Queremos encontrar a expressão para o campo elétrico gerado por esse anel em um ponto que está a uma distância do centro do anel, ao longo do seu eixo de simetria. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de campo elétrico devido a distribuições de carga simétricas e a superposição dos campos elétricos.

Passo 2

Imagine dividir o anel em pequenos elementos de carga . Cada um desses elementos produz um campo elétrico no ponto localizado a uma distância do centro do anel. Devido à simetria, as componentes laterais do campo se cancelam, deixando apenas a componente ao longo do eixo de simetria, que vamos chamar de .

Passo 3

Para cada elemento de carga dEx = 14pi varepsilon0 cdot dq cdot x(x^2 + R^2)^3/2 , a componente do campo elétrico na direção é dada por:
Aqui, é a constante de permissividade do vácuo, e a expressão vem da Lei de Coulomb aplicada a elementos de carga.

Passo 4

Agora, para encontrar o campo total , integramos ao longo de todo o anel. Como a carga está distribuída uniformemente, podemos substituir por , onde é o ângulo que parametriza o anel.

Passo 5

Integrando de Ex = integral0^2pi 14pi varepsilon0 cdot q cdot x(x^2 + R^2)^3/2 cdot 12pi dtheta a Ex = 14pi varepsilon0 cdot q cdot x(x^2 + R^2)^3/2 cdot 12pi cdot 2pi = 14pi varepsilon0 cdot q cdot x(x^2 + R^2)^3/2 , temos:
Como a integral de de a é , simplificamos:

Resposta

A expressão para o campo elétrico gerado pelo anel no ponto desejado é:
Ex = 14pi varepsilon0 cdot q cdot x(x^2 + R^2)^3/2

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