Uma partícula tem o deslocamento x dado por x=0,3 cos (2 t+pi / 6), onde x está em metros e t em segundos. (a) Qual a frequência, o periodo, a amplitude, a frequência angular e a constante de fase do movimento? (b) Onde está a partícula em t=1 s? © Achar a velocidade e a aceleração em qualquer instante t. (d) Achar a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da partícula.
(a) 0,32 Hz, 3,14 s, 0,3 m, 2 rad / s, pi / 6 rad, (b) -0,24 m, © v=-0,6 sin (2 t+pi6), a= -1,2 cos (2 t+pi6), (d) 0,26 m,-0,3 m / s,-1,04 m / s^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento harmônico simples! A questão nos dá o deslocamento da partícula em função do tempo: . Vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência, período, frequência angular e fase. Também vamos calcular posição, velocidade e aceleração em momentos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude. Na equação , é a amplitude. Aqui, metros.

Passo 3

Agora, vamos achar a frequência angular . Ela está na frente do na função cosseno. No nosso caso, rad/s.

Passo 4

Com a frequência angular, podemos encontrar a frequência f = omega2pi = 22pi = 1pi approx 0,32 Hz usando a fórmula . Então:

Passo 5

O período T = 1f = 10,32 approx 3,14 s é o inverso da frequência. Então:

Passo 6

A constante de fase é o termo que está somando na função cosseno. Aqui, rad.

Passo 7

Resumindo a parte (a):
  • Frequência:
  • Período:
  • Amplitude:
  • Frequência angular:
  • Constante de fase:

Passo 8

Parte (b): Queremos saber onde está a partícula em x = 0,3 cos(2 times 1 + pi6) = 0,3 cos(2 + pi6) s. Substituímos x approx 0,3 times (-0,8) = -0,24 m na função de :
Calculando o cosseno:

Passo 9

Parte ©: Vamos encontrar a velocidade e aceleração. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.
Primeiro, derivando v = dxdt = -0,3 times 2 sin(2t + pi6) = -0,6 sin(2t + pi6) :
a = dvdt = -0,6 times 2 cos(2t + pi6) = -1,2 cos(2t + pi6)
Derivando para achar :

Passo 10

Parte (d): Vamos encontrar as condições iniciais, ou seja, em x(0) = 0,3 cos(0 + pi6) = 0,3 times raiz32 approx 0,26 m .
Para a posição:
v(0) = -0,6 sin(0 + pi6) = -0,6 times 12 = -0,3 m/s
Para a velocidade:
a(0) = -1,2 cos(0 + pi6) = -1,2 times raiz32 approx -1,04 m/s^2
Para a aceleração:

Resposta

(a) Frequência: , Período: , Amplitude: , Frequência angular: , Constante de fase: .
(b) A partícula está em em .
© Velocidade: , Aceleração: .
(d) Posição inicial: , Velocidade inicial: , Aceleração inicial: .

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