Uma partícula tem o deslocamento
dado por
, onde
está em metros e t em segundos. (a) Qual a frequência, o periodo, a amplitude, a frequência angular e a constante de fase do movimento? (b) Onde está a partícula em t=1 s? © Achar a velocidade e a aceleração em qualquer instante t. (d) Achar a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da partícula.
(a)
, (b)
, ©
, (d)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento harmônico simples! A questão nos dá o deslocamento da partícula em função do tempo:
. Vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência, período, frequência angular e fase. Também vamos calcular posição, velocidade e aceleração em momentos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a amplitude. Na equação
,
é a amplitude. Aqui,
metros.
Passo 3
Agora, vamos achar a frequência angular
. Ela está na frente do
na função cosseno. No nosso caso,
rad/s.
Passo 4
Com a frequência angular, podemos encontrar a frequência
usando a fórmula
. Então:
Passo 5
O período
é o inverso da frequência. Então:
Passo 6
A constante de fase
é o termo que está somando na função cosseno. Aqui,
rad.
Passo 7
Resumindo a parte (a):
- Frequência:
- Período:
- Amplitude:
- Frequência angular:
- Constante de fase:
Passo 8
Parte (b): Queremos saber onde está a partícula em
s. Substituímos
na função de
:
Calculando o cosseno:
Passo 9
Parte ©: Vamos encontrar a velocidade e aceleração. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.
Primeiro, derivando
:
Derivando
para achar
:
Passo 10
Parte (d): Vamos encontrar as condições iniciais, ou seja, em
.
Para a posição:
Para a velocidade:
Para a aceleração:
Resposta
(a) Frequência:
, Período:
, Amplitude:
, Frequência angular:
, Constante de fase:
.
(b) A partícula está em
em
.
© Velocidade:
, Aceleração:
.
(d) Posição inicial:
, Velocidade inicial:
, Aceleração inicial:
.