Uma partícula tem o deslocamento dado por , onde está em metros e t em segundos. (a) Qual a frequência, o periodo, a amplitude, a frequência angular e a constante de fase do movimento? (b) Onde está a partícula em t=1 s? © Achar a velocidade e a aceleração em qualquer instante t. (d) Achar a posição, a velocidade e a aceleração iniciais da partícula.
(a) , (b) , © , (d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento harmônico simples! A questão nos dá o deslocamento da partícula em função do tempo: . Vamos precisar entender conceitos como amplitude, frequência, período, frequência angular e fase. Também vamos calcular posição, velocidade e aceleração em momentos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude. Na equação , é a amplitude. Aqui, metros.

Passo 3

Agora, vamos achar a frequência angular . Ela está na frente do na função cosseno. No nosso caso, rad/s.

Passo 4

Com a frequência angular, podemos encontrar a frequência usando a fórmula . Então:

Passo 5

O período é o inverso da frequência. Então:

Passo 6

A constante de fase é o termo que está somando na função cosseno. Aqui, rad.

Passo 7

Resumindo a parte (a):
  • Frequência:
  • Período:
  • Amplitude:
  • Frequência angular:
  • Constante de fase:

Passo 8

Parte (b): Queremos saber onde está a partícula em s. Substituímos na função de :
Calculando o cosseno:

Passo 9

Parte ©: Vamos encontrar a velocidade e aceleração. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.
Primeiro, derivando :
Derivando para achar :

Passo 10

Parte (d): Vamos encontrar as condições iniciais, ou seja, em .
Para a posição:
Para a velocidade:
Para a aceleração:

Resposta

(a) Frequência: , Período: , Amplitude: , Frequência angular: , Constante de fase: .
(b) A partícula está em em .
© Velocidade: , Aceleração: .
(d) Posição inicial: , Velocidade inicial: , Aceleração inicial: .

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.
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