2 — (PUC-MG) Um monte de areia tem a forma de um cone circular reto, com volume V= 4πm3 . Se o raio da base é igual a dois terços da altura desse cone, pode-se afirmar que a medida da altura do monte de areia, em metros, é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de Geometria que envolve o cálculo do volume de um cone. A gente tem que usar a fórmula do volume do cone e a relação entre o raio da base e a altura para descobrir qual é a altura do monte de areia.

Passo 2

Primeiro, lembra qual é a fórmula do volume de um cone? Ela é:
V = 13 pi r^2 h
Aqui, $ V $ é o volume, $ r $ é o raio da base e $ h $ é a altura do cone.

Passo 3

No enunciado, foi dito que o volume $ V = 4\pi , m^3 $ e que o raio $ r $ é igual a dois terços da altura $ h $. Isso significa que:
V = 4pi , m^3
Vamos substituir esse valor de $ r $ na fórmula do volume:
r

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
4pi = 13 pi ( 49h^2 ) h
Multiplicando os números:
4pi = 427 pi h^3

Passo 5

Para encontrar $ h $, vamos isolar a variável. Primeiro, dividimos ambos os lados por $ \pi $:
h
Em seguida, multiplicamos ambos os lados por 27:
pi
Agora, dividimos por 4:
4 = 427 h^3
Por fim, tiramos a raiz cúbica dos dois lados:
108 = 4h^3

Resposta

A altura do monte de areia é 3 metros, ou seja, a alternativa b).

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