Uma bola elástica cai de uma altura de h metros, elevando-se, em cada pulo, a uma altura igual a 3/4 da que caiu anteriormente. Calcule a distância percorrida pela bola até atingir o repouso e assinale a alternativa correta.
a)3h
b)4h
c)5h
d)6h
e)7h

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola elástica que cai de uma altura $ h $ metros. A cada pulo, ela alcança uma altura que é $ \frac{3}{4} $ da altura anterior. Nosso objetivo é calcular a distância total que a bola percorre até parar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre progressões geométricas e somas infinitas.

Passo 2

Primeiro, pense na trajetória da bola. Ela cai $ h $ metros, depois sobe $ \frac{3}{4}h $, desce novamente $ \frac{3}{4}h $, sobe $ \left(\frac{3}{4}\right)^2 h $, desce $ \left(\frac{3}{4}\right)^2 h $, e assim por diante. A cada pulo, a altura diminui pela razão $ \frac{3}{4} $.

Passo 3

Vamos organizar isso: a distância total é a soma das distâncias das descidas e subidas. A primeira descida é $ h $. Depois, cada par de subida e descida é $ 2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^n h $, onde $ n $ começa de 1 e vai até o infinito.

Passo 4

Então, a distância total $ D $ é:
D

Passo 5

A parte dentro dos parênteses é uma série geométrica infinita com a razão $ r = \frac{3}{4} $. A soma de uma série geométrica infinita $ S $ é dada por:
r = 34
onde $ a $ é o primeiro termo da série. Aqui, $ a = \frac{3}{4}h $ e $ r = \frac{3}{4} $.

Passo 6

Calculando a soma $ S $:
S

Passo 7

Agora, voltando à distância total $ D $:
D

Resposta

A distância percorrida pela bola até atingir o repouso é $ 7h $. Alternativa e) 7h.

Exercícios relacionados