Uma bola elástica cai de uma altura de h metros, elevando-se, em cada pulo, a uma altura igual a 3/4 da que caiu anteriormente. Calcule a distância percorrida pela bola até atingir o repouso e assinale a alternativa correta.
a)3h
b)4h
c)5h
d)6h
e)7h
a)3h
b)4h
c)5h
d)6h
e)7h
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola elástica que cai de uma altura $ h $ metros. A cada pulo, ela alcança uma altura que é $ \frac{3}{4} $ da altura anterior. Nosso objetivo é calcular a distância total que a bola percorre até parar. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre progressões geométricas e somas infinitas.
Passo 2
Primeiro, pense na trajetória da bola. Ela cai $ h $ metros, depois sobe $ \frac{3}{4}h $, desce novamente $ \frac{3}{4}h $, sobe $ \left(\frac{3}{4}\right)^2 h $, desce $ \left(\frac{3}{4}\right)^2 h $, e assim por diante. A cada pulo, a altura diminui pela razão $ \frac{3}{4} $.
Passo 3
Vamos organizar isso: a distância total é a soma das distâncias das descidas e subidas. A primeira descida é $ h $. Depois, cada par de subida e descida é $ 2 \times \left(\frac{3}{4}\right)^n h $, onde $ n $ começa de 1 e vai até o infinito.
Passo 4
Então, a distância total $ D $ é:
Passo 5
A parte dentro dos parênteses é uma série geométrica infinita com a razão $ r = \frac{3}{4} $. A soma de uma série geométrica infinita $ S $ é dada por:
onde $ a $ é o primeiro termo da série. Aqui, $ a = \frac{3}{4}h $ e $ r = \frac{3}{4} $.
Passo 6
Calculando a soma $ S $:
Passo 7
Agora, voltando à distância total $ D $:
Resposta
A distância percorrida pela bola até atingir o repouso é $ 7h $. Alternativa e) 7h.