Uma pulseira de ouro de 100 g a
é colocada em um recipiente com uma grande quantidade de gelo a
. Qual quantidade de gelo deve derreter para que a pulseira e a mistura de gelo e água entrem em equilíbrio térmico? Se o coeficiente de expansão térmica do ouro é
, qual é a variação relativa do raio da pulseira durante o processo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício onde uma pulseira de ouro de 100 gramas a 250°C é colocada em um recipiente com muito gelo a 0°C. A gente precisa descobrir duas coisas:
- Quanto gelo vai derreter para que a pulseira e a mistura fiquem na mesma temperatura.
- Qual é a variação relativa do raio da pulseira durante esse processo, considerando a expansão térmica do ouro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de calorimetria (que estuda as trocas de calor) e expansão térmica (como materiais se expandem ou contraem com a temperatura). Também vamos precisar de algumas fórmulas básicas de física, como a do calor sensível e a do calor latente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que a pulseira de ouro vai liberar ao esfriar de 250°C até 0°C. Essa quantidade de calor vai derreter o gelo.
A fórmula para o calor sensível é:
Onde:
- $ Q $ é o calor (em calorias ou joules),
- $ m $ é a massa do objeto,
- $ c $ é a capacidade calorífica específica do material,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Precisamos da capacidade calorífica específica do ouro. Sabemos que $ c_{ouro} = 0,129 , J/g°C $.
Então:
O sinal negativo indica que o ouro está liberando calor.
Passo 3
Agora, vamos calcular quanto gelo vai derreter absorvendo esse calor. Usamos a fórmula do calor latente de fusão:
Onde:
- $ Q $ é o calor absorvido,
- $ m $ é a massa de gelo que vai derreter,
- $ L_f $ é o calor latente de fusão do gelo, que é $ 334 , J/g $.
Precisamos igualar o calor perdido pelo ouro ao calor absorvido pelo gelo:
Passo 4
Agora, vamos resolver para $ m $:
Então, aproximadamente 9,66 gramas de gelo vão derreter para que a pulseira e a mistura entrem em equilíbrio térmico.
Passo 5
Agora, vamos calcular a variação relativa do raio da pulseira devido à expansão térmica. A fórmula para a variação relativa no comprimento linear é:
Onde:
- $ \Delta L $ é a variação no comprimento (neste caso, o raio),
- $ L $ é o comprimento original,
- $ \alpha $ é o coeficiente de expansão térmica,
- $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Dado que $ \alpha_{ouro} = 14 \times 10^{-6} , \circ\text{C}{-1} $ e $ \Delta T = 0°C - 250°C = -250°C $:
Isso significa que o raio da pulseira diminui em 0,35% durante o processo.
Resposta
Para que a pulseira de ouro e a mistura de gelo e água entrem em equilíbrio térmico, aproximadamente 9,66 gramas de gelo devem derreter. Além disso, o raio da pulseira diminui em 0,35% durante o processo.