Uma pulseira de ouro de 100 g a 250^circ C é colocada em um recipiente com uma grande quantidade de gelo a 0^circ C. Qual quantidade de gelo deve derreter para que a pulseira e a mistura de gelo e água entrem em equilíbrio térmico? Se o coeficiente de expansão térmica do ouro é alpha ouro =14 times 10^-6 ^circ C^-1, qual é a variação relativa do raio da pulseira durante o processo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício onde uma pulseira de ouro de 100 gramas a 250°C é colocada em um recipiente com muito gelo a 0°C. A gente precisa descobrir duas coisas:
  1. Quanto gelo vai derreter para que a pulseira e a mistura fiquem na mesma temperatura.
  2. Qual é a variação relativa do raio da pulseira durante esse processo, considerando a expansão térmica do ouro.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de calorimetria (que estuda as trocas de calor) e expansão térmica (como materiais se expandem ou contraem com a temperatura). Também vamos precisar de algumas fórmulas básicas de física, como a do calor sensível e a do calor latente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a quantidade de calor que a pulseira de ouro vai liberar ao esfriar de 250°C até 0°C. Essa quantidade de calor vai derreter o gelo.
A fórmula para o calor sensível é:
Q = m cdot c cdot De
Onde:
  • $ Q $ é o calor (em calorias ou joules),
  • $ m $ é a massa do objeto,
  • $ c $ é a capacidade calorífica específica do material,
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Precisamos da capacidade calorífica específica do ouro. Sabemos que $ c_{ouro} = 0,129 , J/g°C $.
Então:
Q
O sinal negativo indica que o ouro está liberando calor.

Passo 3

Agora, vamos calcular quanto gelo vai derreter absorvendo esse calor. Usamos a fórmula do calor latente de fusão:
Q = m cdot Lf
Onde:
  • $ Q $ é o calor absorvido,
  • $ m $ é a massa de gelo que vai derreter,
  • $ L_f $ é o calor latente de fusão do gelo, que é $ 334 , J/g $.
Precisamos igualar o calor perdido pelo ouro ao calor absorvido pelo gelo:
Q

Passo 4

Agora, vamos resolver para $ m $:
m
Então, aproximadamente 9,66 gramas de gelo vão derreter para que a pulseira e a mistura entrem em equilíbrio térmico.

Passo 5

Agora, vamos calcular a variação relativa do raio da pulseira devido à expansão térmica. A fórmula para a variação relativa no comprimento linear é:
De
Onde:
  • $ \Delta L $ é a variação no comprimento (neste caso, o raio),
  • $ L $ é o comprimento original,
  • $ \alpha $ é o coeficiente de expansão térmica,
  • $ \Delta T $ é a variação de temperatura.
Dado que $ \alpha_{ouro} = 14 \times 10^{-6} , \circ\text{C}{-1} $ e $ \Delta T = 0°C - 250°C = -250°C $:
De
Isso significa que o raio da pulseira diminui em 0,35% durante o processo.

Resposta

Para que a pulseira de ouro e a mistura de gelo e água entrem em equilíbrio térmico, aproximadamente 9,66 gramas de gelo devem derreter. Além disso, o raio da pulseira diminui em 0,35% durante o processo.

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