a) Mostre que Lambda(t)=integral-infty^t 2Pi0,1 / 2(tau)-Pi1 / 2,1(tau) d tau
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá rolando aqui! A gente tem uma função chamada pulso triangular unitário, representada por Lambda(t). Essa função é definida de forma diferente dependendo do valor de t. A questão quer que a gente mostre que essa função pode ser escrita como uma integral envolvendo outras funções chamadas de funções retangulares, simbolizadas por Pi. Para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções são definidas e como elas se relacionam com integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da Lambda(t):
Lambda(t)=cc 0, & t<0 2 t, & 01
Isso significa que Lambda(t) é zero antes de t=0, aumenta linearmente até t=1/2, depois diminui linearmente até t=1, e volta a zero depois disso, formando um triângulo.
Passo 3
Agora, vamos entender as funções Pia,b(t). A função retangular Pia,b(t) é definida como:
Pia,b(t) = cc 1, & a <= t <= b 0, & caso contrário á
Ou seja, ela é igual a 1 no intervalo entre a e b, e zero fora desse intervalo.
Passo 4
A expressão que queremos provar é:
Lambda(t) = integral-infty^t 2Pi0,1 / 2(tau) - Pi1 / 2,1(tau) d tau
Vamos entender o que isso significa. Estamos integrando, de -infty até t, uma combinação de duas funções retangulares: uma que é 1 de 0 a 1/2 e outra que é 1 de 1/2 a 1, mas com um sinal negativo na segunda. A multiplicação por 2 está escalando essa diferença.
Passo 5
Vamos calcular essa integral por partes, considerando diferentes intervalos de t:
Quando t < 0:
Ambas as funções retangulares são zero, porque Pi0,1/2(tau) começa em tau=0 e Pi1/2,1(tau) começa em tau=1/2.
Então, a integral fica: Lambda(t) = integral-infty^t 0 , dtau = 0
Isso confirma que para t < 0, Lambda(t) = 0.
Quando 0 <= t < 1/2:
Pi0,1/2(tau) = 1 para 0 <= tau <= t e zero antes de 0.
Pi1/2,1(tau) = 0 porque t < 1/2.
A integral fica: Lambda(t) = integral0^t 2(1 - 0) , dtau = 2 integral0^t 1 , dtau = 2t
Isso confirma que para 0 < t < 1/2, Lambda(t) = 2t.