is an orthogonal matrix.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que foi pedido. A gente tem uma matriz
dada por:
E foi dito que essa é uma matriz ortogonal. Nosso objetivo aqui é verificar se realmente
é uma matriz ortogonal. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser ortogonal e como comprovar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos recapitular o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz quadrada
é dita ortogonal se ela satisfaz a seguinte condição:
Onde
é a transposta de
e
é a matriz identidade do mesmo tamanho de
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a transposta de
. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos multiplicar
por
. Vamos fazer isso passo a passo, multiplicando as linhas de
pelas colunas de
:
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
-
Elemento (1,1):
-
Elemento (1,2):
-
Elemento (2,1):
-
Elemento (2,2):
Passo 5
Juntando todos os elementos calculados, temos:
Isso mostra que a multiplicação de
por
resulta na matriz identidade
.
Resposta
Sim, a matriz
dada é uma matriz ortogonal, já que
.