Q=[rr 513 & 1213 -1213 & 513 ]
is an orthogonal matrix.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que foi pedido. A gente tem uma matriz Q = 513 & 1213 -1213 & 513 dada por:
E foi dito que essa é uma matriz ortogonal. Nosso objetivo aqui é verificar se realmente é uma matriz ortogonal. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser ortogonal e como comprovar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma matriz ortogonal. Uma matriz quadrada Q^T Q = I é dita ortogonal se ela satisfaz a seguinte condição:
Onde é a transposta de e é a matriz identidade do mesmo tamanho de .

Passo 3

Agora, vamos calcular a transposta de Q^T = 513 & -1213 1213 & 513 . A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Então, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos multiplicar Q^T Q = 513 & -1213 1213 & 513 513 & 1213 -1213 & 513 por (513)(513) + (-1213)(-1213) = 25169 + 144169 = 169169 = 1 . Vamos fazer isso passo a passo, multiplicando as linhas de (513)(1213) + (-1213)(513) = 60169 - 60169 = 0 pelas colunas de (1213)(513) + (513)(-1213) = 60169 - 60169 = 0 :
(1213)(1213) + (513)(513) = 144169 + 25169 = 169169 = 1
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (1,2):
  • Elemento (2,1):
  • Elemento (2,2):

Passo 5

Juntando todos os elementos calculados, temos:
Q^T Q = 1 & 0 0 & 1 = I
Isso mostra que a multiplicação de por resulta na matriz identidade .

Resposta

Sim, a matriz dada é uma matriz ortogonal, já que .

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