Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?
a) 4 845 comissões
b) 2 345 comissões
c) 3 485 comissões
d) 4 325 comissões

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para saber quantas comissões de 4 alunos podemos formar a partir de uma turma com 20 alunos. Isso está dentro da área de combinatória, mais especificamente de combinações. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de combinações, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos selecionar um grupo sem nos importar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de combinação. A combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ de cada vez é dada por:
n
Aqui, $ n! $ significa o fatorial de $ n $, que é o produto de todos os números inteiros positivos até $ n $.

Passo 3

No nosso caso, queremos escolher 4 alunos ($ k = 4 k = 4 n = 20 $). Então, substituindo na fórmula:
n = 20

Passo 4

Agora, para simplificar o cálculo, observamos que muitos fatores do fatorial se cancelam. Podemos simplificar $ \frac{20!}{16!} $ como:
20!16!
Então, temos:
20 times 19 times 18 times 17 times 16!16! = 20 times 19 times 18 times 17

Passo 5

Calculando o denominador, $ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $. Então:
4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24

Passo 6

Vamos multiplicar os números do numerador:
20 times 19 = 380
380 times 18 = 6,840
6,840 times 17 = 116,280
Agora, dividimos pelo denominador:
116,28024 = 4,845

Resposta

4 845 comissões.

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