Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?
a) 4 845 comissões
b) 2 345 comissões
c) 3 485 comissões
d) 4 325 comissões
a) 4 845 comissões
b) 2 345 comissões
c) 3 485 comissões
d) 4 325 comissões
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para saber quantas comissões de 4 alunos podemos formar a partir de uma turma com 20 alunos. Isso está dentro da área de combinatória, mais especificamente de combinações. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula de combinações, que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos selecionar um grupo sem nos importar com a ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula de combinação. A combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ de cada vez é dada por:
Aqui, $ n! $ significa o fatorial de $ n $, que é o produto de todos os números inteiros positivos até $ n $.
Passo 3
No nosso caso, queremos escolher 4 alunos ($ k = 4
n = 20 $). Então, substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, para simplificar o cálculo, observamos que muitos fatores do fatorial se cancelam. Podemos simplificar $ \frac{20!}{16!} $ como:
Então, temos:
Passo 5
Calculando o denominador, $ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $. Então:
Passo 6
Vamos multiplicar os números do numerador:
Agora, dividimos pelo denominador:
Resposta
4 845 comissões.