Quantas faces tem um poliedro convexo fechado que tem 2 vértices pentaédricos e 10 vértices tridricos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um poliedro convexo fechado que possui 2 vértices pentaédricos (vértices onde 5 arestas se encontram) e 10 vértices tridricos (vértices onde 3 arestas se encontram). Nosso objetivo é descobrir quantas faces esse poliedro tem. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que relaciona o número de vértices (V), arestas (E) e faces (F).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o número total de vértices. Sabemos que temos 2 vértices pentaédricos e 10 vértices tridricos. Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o número de arestas (E). Para isso, vamos usar o fato de que a soma dos graus dos vértices é igual a duas vezes o número de arestas. O grau de um vértice é o número de arestas que saem dele.
Os vértices pentaédricos têm grau 5 e os vértices tridricos têm grau 3. Então:
Como a soma dos graus é igual a duas vezes o número de arestas:
Passo 4
Agora que temos V e E, podemos usar a fórmula de Euler para encontrar F:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
O poliedro possui 10 faces.