Quantas faces tem um poliedro convexo fechado que tem 2 vértices pentaédricos e 10 vértices tridricos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um poliedro convexo fechado que possui 2 vértices pentaédricos (vértices onde 5 arestas se encontram) e 10 vértices tridricos (vértices onde 3 arestas se encontram). Nosso objetivo é descobrir quantas faces esse poliedro tem. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Euler para poliedros convexos, que relaciona o número de vértices (V), arestas (E) e faces (F).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o número total de vértices. Sabemos que temos 2 vértices pentaédricos e 10 vértices tridricos. Então:
V = 2 + 10 = 12

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o número de arestas (E). Para isso, vamos usar o fato de que a soma dos graus dos vértices é igual a duas vezes o número de arestas. O grau de um vértice é o número de arestas que saem dele.
Os vértices pentaédricos têm grau 5 e os vértices tridricos têm grau 3. Então:
Soma dos graus = (2 times 5) + (10 times 3) = 10 + 30 = 40
Como a soma dos graus é igual a duas vezes o número de arestas:
2E = 40
E = 20

Passo 4

Agora que temos V e E, podemos usar a fórmula de Euler para encontrar F:
V - E + F = 2
Substituindo os valores que encontramos:
12 - 20 + F = 2
-8 + F = 2
F = 10

Resposta

O poliedro possui 10 faces.

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