A quantidade Q de cafeína num indivíduo, thoras após a ingestão da mesma é dada pela expressão: Q(t) = Q0 e^(-t) Um indivíduo tomou uma xícara de café que contém 80 mg de cafeína. Sabendo-se que o tempo necessário para que a quantidade de cafeína no organismo passe para a metade é de, aproximadamente 4 horas, determine: Quanto tempo é necessário para que a quantidade de cafeína seja de 50 mg?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: Temos uma função que descreve a quantidade de cafeína no corpo ao longo do tempo, . Sabemos que uma pessoa consumiu 80 mg de cafeína e que o tempo para a quantidade de cafeína diminuir para a metade é de aproximadamente 4 horas. Precisamos determinar quanto tempo é necessário para que a quantidade de cafeína passe para 50 mg.
Vamos precisar usar a equação do decaimento exponencial e o conceito de vida média.

Passo 2

Primeiro, identificamos os valores conhecidos:
  • Quantidade inicial, mg
  • Quantidade final desejada, mg
  • Vida média (tempo para metade), horas
A equação geral para o decaimento exponencial é:
Onde é a constante de decaimento que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar a constante , usamos a informação da vida média. Sabemos que em horas, a quantidade de cafeína é metade da inicial:
Cancelando dos dois lados:

Passo 4

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para :
Sabemos que , então:
Cancelando os sinais negativos:
Então:

Passo 5

Agora que temos , podemos usar novamente a equação do decaimento para encontrar o tempo que faz mg:
Dividindo ambos os lados por 80:

Passo 6

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Substituindo :

Passo 7

Isolamos :
Sabemos que .

Passo 8

Calculando os valores numéricos:
Então:
Substituindo:

Resposta

O tempo necessário para que a quantidade de cafeína seja de 50 mg é aproximadamente 2,72 horas.

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