A quantidade
de cafeína num indivíduo, thoras após a ingestão da mesma é dada pela expressão:
Um indivíduo tomou uma xícara de café que contém 80 mg de cafeína. Sabendo-se que o tempo necessário para que a quantidade de cafeína no organismo passe para a metade é de, aproximadamente 4 horas, determine: Quanto tempo é necessário para que a quantidade de cafeína seja de 50 mg?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: Temos uma função que descreve a quantidade de cafeína no corpo ao longo do tempo,
. Sabemos que uma pessoa consumiu 80 mg de cafeína e que o tempo para a quantidade de cafeína diminuir para a metade é de aproximadamente 4 horas. Precisamos determinar quanto tempo é necessário para que a quantidade de cafeína passe para 50 mg.
Vamos precisar usar a equação do decaimento exponencial e o conceito de vida média.
Passo 2
Primeiro, identificamos os valores conhecidos:
- Quantidade inicial,
mg - Quantidade final desejada,
mg - Vida média (tempo para metade),
horas
A equação geral para o decaimento exponencial é:
Onde
é a constante de decaimento que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar a constante
, usamos a informação da vida média. Sabemos que em
horas, a quantidade de cafeína é metade da inicial:
Cancelando
dos dois lados:
Passo 4
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para resolver para
:
Sabemos que
, então:
Cancelando os sinais negativos:
Então:
Passo 5
Agora que temos
, podemos usar novamente a equação do decaimento para encontrar o tempo
que faz
mg:
Dividindo ambos os lados por 80:
Passo 6
Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Substituindo
:
Passo 7
Isolamos
:
Sabemos que
.
Passo 8
Calculando os valores numéricos:
Então:
Substituindo:
Resposta
O tempo necessário para que a quantidade de cafeína seja de 50 mg é aproximadamente 2,72 horas.