Quantos anagramas tem a palavra ABACAXI ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos quantos anagramas a palavra ABACAXI tem. Esse exercício é de contagem de anagramas, que faz parte da combinatória. Para resolver, vamos precisar entender como calcular permutações de letras, especialmente quando algumas se repetem.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantas letras tem a palavra ABACAXI. Ela tem 7 letras.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se alguma letra se repete. Na palavra ABACAXI, a letra A aparece 3 vezes. As outras letras (B, C, X, I) aparecem uma vez cada.

Passo 4

Quando temos letras que se repetem, não podemos simplesmente calcular o fatorial do número total de letras. Precisamos ajustar para evitar contar anagramas iguais várias vezes. A fórmula para isso é:
Número de anagramas = n!p1! times p2! times dots times pk! ú
onde:
  • $ n $ é o total de letras,
  • $ p_1, p_2, \dots, p_k $ são as quantidades de cada letra que se repete.

Passo 5

Aplicando à nossa palavra:
  • Total de letras ($ n $) = 7
  • A letra A se repete 3 vezes ($ p = 3 $)
  • As demais letras não se repetem, então seus fatoriais são 1 e não afetam o cálculo.
Então, a fórmula fica:
n ú

Passo 6

Vamos calcular agora:
  • $ 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040 $
  • $ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 $
Dividindo:
7! = 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 5040

Resposta

A palavra ABACAXI tem 840 anagramas.

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