De quantos anos terrestres seria o período de um planeta que, girando em torno do Sol, tivesse o raio médio de sua órbita 9 vezes maior do que o raio mé dio da órbita da Terra?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. A questão fala sobre calcular o período de um planeta que orbita o Sol, onde o raio médio da órbita desse planeta é 9 vezes maior que o da Terra. Vamos usar a Lei de Kepler para resolver isso, que relaciona o tempo que um planeta leva para completar uma órbita com o tamanho dessa órbita.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a Lei de Kepler que nos interessa aqui. É a Terceira Lei de Kepler, que diz que o quadrado do período orbital de um planeta (o tempo que ele leva para dar uma volta completa ao redor do Sol) é proporcional ao cubo do raio médio da sua órbita. Em fórmula, fica assim:
Onde:
- $ P $ é o período orbital,
- $ a $ é o raio médio da órbita.
Como estamos comparando com a Terra, podemos simplificar para:
Passo 3
Agora, vamos identificar os valores que temos:
- O raio médio da órbita da Terra é 1 unidade astronômica (UA), mas como o raio do novo planeta é 9 vezes maior, temos $ a = 9 $.
Vamos substituir esse valor na fórmula:
Passo 4
Calculando o lado direito da equação:
Então agora temos:
Passo 5
Para encontrar $ P $, que é o período orbital, precisamos tirar a raiz quadrada dos dois lados da equação:
Calculando isso:
Resposta
O período orbital do planeta é de 27 anos terrestres.