De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro
? E se os reis fossem iguais?
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para descobrir de quantas maneiras podemos colocar 2 reis diferentes em um tabuleiro de
casas, garantindo que eles não fiquem em casas adjacentes. Depois, veremos o mesmo para reis iguais. Para isso, vamos usar conceitos de combinatória, que é a parte da matemática que estuda as contagens de maneiras de organizar elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas casas temos no total. Em um tabuleiro
, temos
casas. Então, inicialmente, sem nenhuma restrição, poderíamos colocar o primeiro rei em qualquer uma dessas 64 casas.
Passo 3
Depois de colocar o primeiro rei, o segundo rei pode ser colocado em qualquer uma das casas restantes. Como são reis diferentes, a ordem importa. Portanto, para as duas peças diferentes, o número total de maneiras de colocá-los sem restrições seria:
Passo 4
Agora, precisamos considerar a restrição: os reis não podem estar em casas adjacentes. Vamos calcular quantas posições não permitidas existem, ou seja, quantas maneiras os reis podem ficar adjacentes.
Passo 5
No tabuleiro, cada casa pode ter até 8 adjacências (horizontal, vertical e diagonal). Mas precisamos ser cuidadosos com as casas nas bordas e cantos, que têm menos adjacências.
Para facilitar, vamos dividir o tabuleiro em três tipos de posições:
- Cantos: 4 casas, cada uma com 3 adjacências.
- Bordas (não cantos): 24 casas, cada uma com 5 adjacências.
- Centrais: 36 casas, cada uma com 8 adjacências.
Passo 6
Calculando o total de pares adjacentes:
- Cantos:
- Bordas:
- Centrais:
Somando tudo:
Mas como cada par foi contado duas vezes (cada adjacência foi contada para cada rei), dividimos por 2:
Então, existem 210 maneiras de colocar dois reis diferentes em casas adjacentes.
Passo 7
Voltando à contagem total sem restrições, que era
. Para encontrar as maneiras permitidas (não adjacentes), subtraímos as posições adjacentes:
Passo 8
Agora, se os reis fossem iguais, a ordem não importa mais. Ou seja, cada par de posições é contado duas vezes na contagem anterior. Portanto, dividimos o total por 2:
Resposta
Existem 3.822 maneiras de colocar 2 reis diferentes em casas não adjacentes de um tabuleiro
, e 1.911 maneiras se os reis forem iguais.