De quantos modos podemos colocar 2 reis diferentes em casas não-adjacentes de um tabuleiro 8 times 8 ? E se os reis fossem iguais?

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para descobrir de quantas maneiras podemos colocar 2 reis diferentes em um tabuleiro de 8 times 8 casas, garantindo que eles não fiquem em casas adjacentes. Depois, veremos o mesmo para reis iguais. Para isso, vamos usar conceitos de combinatória, que é a parte da matemática que estuda as contagens de maneiras de organizar elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas casas temos no total. Em um tabuleiro 8 times 8, temos 8 times 8 = 64 casas. Então, inicialmente, sem nenhuma restrição, poderíamos colocar o primeiro rei em qualquer uma dessas 64 casas.

Passo 3

Depois de colocar o primeiro rei, o segundo rei pode ser colocado em qualquer uma das casas restantes. Como são reis diferentes, a ordem importa. Portanto, para as duas peças diferentes, o número total de maneiras de colocá-los sem restrições seria:
64 times 63

Passo 4

Agora, precisamos considerar a restrição: os reis não podem estar em casas adjacentes. Vamos calcular quantas posições não permitidas existem, ou seja, quantas maneiras os reis podem ficar adjacentes.

Passo 5

No tabuleiro, cada casa pode ter até 8 adjacências (horizontal, vertical e diagonal). Mas precisamos ser cuidadosos com as casas nas bordas e cantos, que têm menos adjacências.
Para facilitar, vamos dividir o tabuleiro em três tipos de posições:
  1. Cantos: 4 casas, cada uma com 3 adjacências.
  2. Bordas (não cantos): 24 casas, cada uma com 5 adjacências.
  3. Centrais: 36 casas, cada uma com 8 adjacências.

Passo 6

Calculando o total de pares adjacentes:
  • Cantos: 4 times 3 = 12
  • Bordas: 24 times 5 = 120
  • Centrais: 36 times 8 = 288
Somando tudo:
12 + 120 + 288 = 420
Mas como cada par foi contado duas vezes (cada adjacência foi contada para cada rei), dividimos por 2:
4202 = 210
Então, existem 210 maneiras de colocar dois reis diferentes em casas adjacentes.

Passo 7

Voltando à contagem total sem restrições, que era 64 times 63 = 4032. Para encontrar as maneiras permitidas (não adjacentes), subtraímos as posições adjacentes:
4032 - 210 = 3822

Passo 8

Agora, se os reis fossem iguais, a ordem não importa mais. Ou seja, cada par de posições é contado duas vezes na contagem anterior. Portanto, dividimos o total por 2:
38222 = 1911

Resposta

Existem 3.822 maneiras de colocar 2 reis diferentes em casas não adjacentes de um tabuleiro 8 times 8, e 1.911 maneiras se os reis forem iguais.

Exercícios relacionados