De quantos modos podemos fatorar o número 63.000 como produto de dois números primos entre si? Cada um dos fatores deve ser maior que 1, e a ordem dos fatores não importa.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta: De quantos modos podemos fatorar o número 63.000 como produto de dois números primos entre si? Cada um dos fatores deve ser maior que 1, e a ordem dos fatores não importa.
Aqui, estamos trabalhando com fatoração em números primos e números coprimos (ou primos entre si). Vamos precisar entender como os fatores primos se distribuem para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a fatoração prima de 63.000. Isso significa quebrar o número em seus fatores primos multiplicados.
63.000 pode ser escrito como:
63.000 = 63 times 1.000
Sabendo que:
63 = 7 times 9 = 7 times 3^2
1.000 = 10^3 = (2 times 5)^3 = 2^3 times 5^3
Portanto, a fatoração prima completa de 63.000 é:
63.000 = 2^3 times 3^2 times 5^3 times 7^1

Passo 3

Agora, queremos fatorar 63.000 como o produto de dois números coprimos maiores que 1. Dois números são coprimos se não têm nenhum fator primo em comum além de 1.
Para conseguir isso, vamos distribuir os fatores primos entre os dois números de forma que não compartilhemem nenhum primo.

Passo 4

Observe que na fatoração de 63.000, temos 4 fatores primos distintos: 2, 3, 5 e 7.
Para cada um desses primos, temos duas opções:
  1. Colocar todo o poder do primo no primeiro número.
  2. Colocar todo o poder do primo no segundo número.
Isso porque, para que os números sejam coprimos, não podemos dividir os poderes de um mesmo primo entre os dois números.

Passo 5

Como temos 4 primos e cada um tem 2 opções, o total de maneiras de distribuir os primos é:
2^4 = 16
No entanto, isso conta cada par duas vezes (por exemplo, (A, B) e (B, A) são o mesmo), então precisamos dividir por 2 para eliminar as duplicatas.

Passo 6

Portanto, o número de maneiras distintas de fatorar 63.000 como produto de dois números coprimos é:
162 = 8

Resposta

Existem 8 maneiras de fatorar o número 63.000 como produto de dois números coprimos maiores que 1, considerando que a ordem dos fatores não importa.

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