Prove que cada linha do triângulo de Pascal é unimodal, isto é, cada linha é crescente até o(s) termo(s) central(is) e decrescente daí em diante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que cada linha do triângulo de Pascal é unimodal, ou seja, que os números aumentam até o meio e depois diminuem. Vamos usar conceitos de combinatória, especificamente os coeficientes binomiais ( ), que são os números no triângulo de Pascal. Precisamos mostrar que esses coeficientes aumentam até a metade da linha e depois começam a diminuir.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que cada linha do triângulo de Pascal corresponde aos coeficientes binomiais . Nosso objetivo é mostrar que esses valores aumentam até certo ponto e depois diminuem.

Passo 3

Para entender quando os coeficientes aumentam ou diminuem, vamos analisar a razão entre termos consecutivos. Ou seja, vamos calcular binomnk+1binomnk = n - kk + 1 .
Sabemos que:

Passo 4

Agora, vamos interpretar essa razão:
  • Se , então , ou seja, os termos estão aumentando.
  • Se , então , ou seja, os termos estão diminuindo.
  • Se , os termos são iguais, que acontece no ponto central.

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade n - kk + 1 > 1 implies n - k > k + 1 implies n > 2k + 1 implies k < n - 12 :
Isso significa que para , os termos estão aumentando.

Passo 6

Da mesma forma, para n - kk + 1 < 1 implies n - k < k + 1 implies n < 2k + 1 implies k > n - 12 :
Então, para , os termos começam a diminuir.

Passo 7

No caso de n - kk + 1 = 1 implies n - k = k + 1 implies n = 2k + 1 implies k = n - 12 :
Isso ocorre exatamente no ponto central da linha, onde os termos deixam de aumentar e começam a diminuir.

Resposta

Assim, provamos que em cada linha do triângulo de Pascal, os coeficientes binomiais aumentam até o termo central e depois diminuem, confirmando que cada linha é unimodal.

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