Prove que cada linha do triângulo de Pascal é unimodal, isto é, cada linha é crescente até o(s) termo(s) central(is) e decrescente daí em diante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que cada linha do triângulo de Pascal é unimodal, ou seja, que os números aumentam até o meio e depois diminuem. Vamos usar conceitos de combinatória, especificamente os coeficientes binomiais (
), que são os números no triângulo de Pascal. Precisamos mostrar que esses coeficientes aumentam até a metade da linha e depois começam a diminuir.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que cada linha do triângulo de Pascal corresponde aos coeficientes binomiais
. Nosso objetivo é mostrar que esses valores aumentam até certo ponto e depois diminuem.
Passo 3
Para entender quando os coeficientes aumentam ou diminuem, vamos analisar a razão entre termos consecutivos. Ou seja, vamos calcular
.
Sabemos que:
Passo 4
Agora, vamos interpretar essa razão:
- Se
, então , ou seja, os termos estão aumentando. - Se
, então , ou seja, os termos estão diminuindo. - Se
, os termos são iguais, que acontece no ponto central.
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade
:
Isso significa que para
, os termos estão aumentando.
Passo 6
Da mesma forma, para
:
Então, para
, os termos começam a diminuir.
Passo 7
No caso de
:
Isso ocorre exatamente no ponto central da linha, onde os termos deixam de aumentar e começam a diminuir.
Resposta
Assim, provamos que em cada linha do triângulo de Pascal, os coeficientes binomiais aumentam até o termo central e depois diminuem, confirmando que cada linha é unimodal.