Em uma sacola há
bolas, numeradas de 1 a
. Vamos retirar
bolas desta sacola e anotar os números retirados. Para tanto, temos as seguintes decisões a tomar:
a) depois de retirar uma bola, ela é recolocada na sacola ou não?
b) a ordem dos números anotados importa ou não?
Para cada uma das quatro escolhas possíveis para as respostas das duas perguntas acima, calcule quantos resultados podemos obter após as
retiradas.
a) depois de retirar uma bola, ela é recolocada na sacola ou não?
b) a ordem dos números anotados importa ou não?
Para cada uma das quatro escolhas possíveis para as respostas das duas perguntas acima, calcule quantos resultados podemos obter após as
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como retirar bolas de uma sacola, considerando se a gente coloca a bola de volta depois de tirar e se a ordem das bolas tiradas importa. A gente vai usar conceitos de probabilidades e combinatória para calcular quantos resultados diferentes podemos ter em cada cenário.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas decisões que temos que tomar:
a) Recolocar a bola na sacola após tirar?
- Se sim, isso significa que a mesma bola pode ser tirada mais de uma vez.
- Se não, depois que uma bola é tirada, ela não volta mais, então cada bola só pode ser tirada uma vez.
b) A ordem das bolas importa?
- Se sim, isso significa que a sequência em que as bolas são tiradas faz diferença. Por exemplo, tirar a bola 1 e depois a 2 é diferente de tirar a 2 e depois a 1.
- Se não, a ordem não importa, então tirar as bolas 1 e 2 é o mesmo que tirar as bolas 2 e 1.
Vamos analisar cada uma das quatro combinações possíveis dessas decisões.
Passo 3
1. Recolocação permitida e a ordem importa:
Quando a gente coloca a bola de volta na sacola depois de tirar, cada retirada é independente. E como a ordem importa, cada uma das k retiradas pode ser qualquer uma das n bolas, e a sequência deixa de ser a mesma se a ordem mudar.
A quantidade de resultados possíveis é:
Isso porque para cada uma das k retiradas, temos n opções, e a gente multiplica essas opções.
Passo 4
2. Recolocação permitida, mas a ordem não importa:
Aqui, mesmo colocando a bola de volta, a ordem não importa. Isso significa que estamos interessados apenas nas combinações de bolas, sem se preocupar com a sequência em que elas aparecem.
A quantidade de resultados é dada pelas combinações com repetição, que calculamos usando a fórmula:
Essa fórmula conta todas as maneiras de escolher k bolas de n, permitindo repetições e sem se preocupar com a ordem.
Passo 5
3. Recolocação não permitida e a ordem importa:
Agora, sem recolocar a bola, cada retirada reduz o número de bolas disponíveis, e a ordem importa. Isso significa que estamos lidando com permutações.
A quantidade de resultados possíveis é:
Aqui,
(fatorial de n) representa todas as maneiras de ordenar n bolas, e dividimos por
para ajustar pelo fato de que estamos escolhendo apenas k bolas.
Passo 6
4. Recolocação não permitida e a ordem não importa:
Finalmente, sem recolocar as bolas e sem se preocupar com a ordem, estamos falando de combinações simples. Queremos saber quantas maneiras de escolher k bolas de n, sem repetir e sem se importar com a sequência.
A quantidade de resultados é:
Essa é a fórmula básica de combinação, contando todas as maneiras de escolher k itens de um total de n, sem repetir e sem ordem.
Resposta
As quantidades de resultados para cada uma das quatro escolhas são:
a) Recolocação permitida e ordem importa:
b) Recolocação permitida e ordem não importa:
c) Recolocação não permitida e ordem importa:
d) Recolocação não permitida e ordem não importa: