Em uma sacola há n bolas, numeradas de 1 a n. Vamos retirar k bolas desta sacola e anotar os números retirados. Para tanto, temos as seguintes decisões a tomar:
a) depois de retirar uma bola, ela é recolocada na sacola ou não?
b) a ordem dos números anotados importa ou não?
Para cada uma das quatro escolhas possíveis para as respostas das duas perguntas acima, calcule quantos resultados podemos obter após as k retiradas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como retirar bolas de uma sacola, considerando se a gente coloca a bola de volta depois de tirar e se a ordem das bolas tiradas importa. A gente vai usar conceitos de probabilidades e combinatória para calcular quantos resultados diferentes podemos ter em cada cenário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas decisões que temos que tomar:
a) Recolocar a bola na sacola após tirar?
  • Se sim, isso significa que a mesma bola pode ser tirada mais de uma vez.
  • Se não, depois que uma bola é tirada, ela não volta mais, então cada bola só pode ser tirada uma vez.
b) A ordem das bolas importa?
  • Se sim, isso significa que a sequência em que as bolas são tiradas faz diferença. Por exemplo, tirar a bola 1 e depois a 2 é diferente de tirar a 2 e depois a 1.
  • Se não, a ordem não importa, então tirar as bolas 1 e 2 é o mesmo que tirar as bolas 2 e 1.
Vamos analisar cada uma das quatro combinações possíveis dessas decisões.

Passo 3

1. Recolocação permitida e a ordem importa:
Quando a gente coloca a bola de volta na sacola depois de tirar, cada retirada é independente. E como a ordem importa, cada uma das k retiradas pode ser qualquer uma das n bolas, e a sequência deixa de ser a mesma se a ordem mudar.
A quantidade de resultados possíveis é:
n^k
Isso porque para cada uma das k retiradas, temos n opções, e a gente multiplica essas opções.

Passo 4

2. Recolocação permitida, mas a ordem não importa:
Aqui, mesmo colocando a bola de volta, a ordem não importa. Isso significa que estamos interessados apenas nas combinações de bolas, sem se preocupar com a sequência em que elas aparecem.
A quantidade de resultados é dada pelas combinações com repetição, que calculamos usando a fórmula:
binomn + k - 1k
Essa fórmula conta todas as maneiras de escolher k bolas de n, permitindo repetições e sem se preocupar com a ordem.

Passo 5

3. Recolocação não permitida e a ordem importa:
Agora, sem recolocar a bola, cada retirada reduz o número de bolas disponíveis, e a ordem importa. Isso significa que estamos lidando com permutações.
A quantidade de resultados possíveis é:
n!(n - k)!
Aqui, (fatorial de n) representa todas as maneiras de ordenar n bolas, e dividimos por para ajustar pelo fato de que estamos escolhendo apenas k bolas.

Passo 6

4. Recolocação não permitida e a ordem não importa:
Finalmente, sem recolocar as bolas e sem se preocupar com a ordem, estamos falando de combinações simples. Queremos saber quantas maneiras de escolher k bolas de n, sem repetir e sem se importar com a sequência.
A quantidade de resultados é:
binomnk
Essa é a fórmula básica de combinação, contando todas as maneiras de escolher k itens de um total de n, sem repetir e sem ordem.

Resposta

As quantidades de resultados para cada uma das quatro escolhas são:
a) Recolocação permitida e ordem importa:
b) Recolocação permitida e ordem não importa:
c) Recolocação não permitida e ordem importa:
d) Recolocação não permitida e ordem não importa:

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