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Quantos são os números
A B C de três algarismos distintos tais que o número A
B, de dois algarismos, seja divisor de A B C?
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Quantos são os números
A B C de três algarismos distintos tais que o número A
B, de dois algarismos, seja divisor de A B C?
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Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos que encontrar quantos números de três algarismos, chamados de ABC, têm dígitos todos diferentes e, ao mesmo tempo, o número formado pelos dois primeiros algarismos, AB, é divisor de ABC. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de divisão e de como representar números com seus algarismos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como representar ABC e AB numericamente. O número ABC pode ser escrito como:
E o número AB é:
Aqui, A, B e C são algarismos, ou seja, números de 0 a 9, mas como ABC é um número de três dígitos, A não pode ser zero.
Passo 3
A condição que temos é que AB deve ser um divisor de ABC. Isso significa que quando dividimos ABC por AB, o resultado deve ser um número inteiro, sem resto. Matemáticamente, isso é:
Usando as expressões que encontramos:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise. Podemos dividir os termos:
Para que o resultado seja um número inteiro, a fração
também precisa ser um número inteiro. Isso só acontece se C for múltiplo de AB.
Passo 5
Como C é um dígito (0 a 9) e AB é um número de dois dígitos (10 a 99), a única possibilidade para
ser inteiro é que C seja igual a zero. Portanto, C = 0.
Passo 6
Agora sabemos que C = 0, então o número ABC fica:
E AB continua sendo:
A condição agora é que AB divide 100A + 10B:
Isso confirma que AB realmente divide ABC quando C = 0.
Passo 7
Mas precisamos lembrar que os três algarismos devem ser distintos. Já sabemos que C = 0, então A e B devem ser diferentes de zero e diferentes entre si.
Então, A pode ser de 1 a 9 e B pode ser de 1 a 9, mas diferente de A.
Passo 8
Vamos contar quantas combinações diferentes temos para A e B:
- A tem 9 opções (1 a 9).
- Para cada A, B tem 8 opções (todos menos o valor de A).
Portanto, o total de combinações é:
Resposta
Existem 72 números de três algarismos distintos que satisfazem a condição dada.