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Quantos são os números
A B C de três algarismos distintos tais que o número A
B, de dois algarismos, seja divisor de A B C?
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Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão pede. Temos que encontrar quantos números de três algarismos, chamados de ABC, têm dígitos todos diferentes e, ao mesmo tempo, o número formado pelos dois primeiros algarismos, AB, é divisor de ABC. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de divisão e de como representar números com seus algarismos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como representar ABC e AB numericamente. O número ABC pode ser escrito como:
ABC = 100A + 10B + C
E o número AB é:
AB = 10A + B
Aqui, A, B e C são algarismos, ou seja, números de 0 a 9, mas como ABC é um número de três dígitos, A não pode ser zero.

Passo 3

A condição que temos é que AB deve ser um divisor de ABC. Isso significa que quando dividimos ABC por AB, o resultado deve ser um número inteiro, sem resto. Matemáticamente, isso é:
ABC div AB = número inteiro ú
Usando as expressões que encontramos:
100A + 10B + C10A + B = inteiro

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão para facilitar a análise. Podemos dividir os termos:
100A + 10B + C10A + B = 10(10A + B) + C10A + B = 10 + C10A + B
Para que o resultado seja um número inteiro, a fração C10A + B também precisa ser um número inteiro. Isso só acontece se C for múltiplo de AB.

Passo 5

Como C é um dígito (0 a 9) e AB é um número de dois dígitos (10 a 99), a única possibilidade para CAB ser inteiro é que C seja igual a zero. Portanto, C = 0.

Passo 6

Agora sabemos que C = 0, então o número ABC fica:
ABC = 100A + 10B
E AB continua sendo:
AB = 10A + B
A condição agora é que AB divide 100A + 10B:
100A + 10B div 10A + B = 10
Isso confirma que AB realmente divide ABC quando C = 0.

Passo 7

Mas precisamos lembrar que os três algarismos devem ser distintos. Já sabemos que C = 0, então A e B devem ser diferentes de zero e diferentes entre si.
Então, A pode ser de 1 a 9 e B pode ser de 1 a 9, mas diferente de A.

Passo 8

Vamos contar quantas combinações diferentes temos para A e B:
  • A tem 9 opções (1 a 9).
  • Para cada A, B tem 8 opções (todos menos o valor de A).
Portanto, o total de combinações é:
9 times 8 = 72

Resposta

Existem 72 números de três algarismos distintos que satisfazem a condição dada.

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