Quantos são os valores distintos de n, para os quais 102 ≤ n ≤ 202, e n é a quantidade de lados de um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos resulta em um quadrado perfeito?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre polígonos convexos e a soma dos seus ângulos internos. O problema pede para encontrar quantos números distintos de lados $ n $ existem entre 102 e 202, onde a soma dos ângulos internos desse polígono é um quadrado perfeito (tipo 100, 121, 144, etc.). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo e entender um pouco sobre quadrados perfeitos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com $ n $ lados. A fórmula é:
n â
Isso significa que, para cada polígono convexo, a soma dos seus ângulos internos depende do número de lados que ele tem.

Passo 3

Agora, queremos que essa soma seja um quadrado perfeito. Ou seja, queremos que:
(n - 2) times 180 = k^2
Onde $ k $ é algum número inteiro. Nosso objetivo é encontrar valores de $ n $ entre 102 e 202 que satisfaçam essa equação.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para encontrar $ n $ em função de $ k $:
n
Como $ n $ precisa estar entre 102 e 202, vamos determinar os possíveis valores de $ k $.

Passo 5

Primeiro, calculamos os limites para $ k $. Sabemos que:
k
Portanto:
102 <= n <= 202 implies 100 <= n - 2 <= 200
Agora, tirando a raiz quadrada:
100 <= k^2180 <= 200 implies 18000 <= k^2 <= 36000
Como $ k $ precisa ser um número inteiro, consideramos $ 135 \leq k \leq 189 $.

Passo 6

Além disso, para que $ \frac{k^2}{180} $ seja um número inteiro, $ k^2 $ deve ser múltiplo de 180. Vamos fatorar 180:
k^2180
Para que $ k^2 $ seja múltiplo de 180, $ k $ precisa ser múltiplo de:
k^2
Como queremos que $ k $ seja inteiro, ele deve ser múltiplo de $ 2 \times 3 \times 5 = 30 $.

Passo 7

Então, os possíveis valores de $ k $ são múltiplos de 30 dentro do intervalo $ 135 \leq k \leq 189 $. Vamos listar esses valores:
k

Passo 8

Agora, vamos calcular $ n $ para cada valor de $ k $:
  1. Para $ k = 150 $:
n
  1. Para $ k = 180 $:
k

Passo 9

Verificando se esses valores de $ n $ estão entre 102 e 202:
  • $ 127 $ está entre 102 e 202.
  • $ 182 $ também está entre 102 e 202.

Resposta

Existem 2 valores distintos de $ n $ que satisfazem as condições do problema.
Resposta: a) 2

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