Quantos são os valores distintos de n, para os quais 102 ≤ n ≤ 202, e n é a quantidade de lados de um polígono convexo cuja soma dos ângulos internos resulta em um quadrado perfeito?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 9
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre polígonos convexos e a soma dos seus ângulos internos. O problema pede para encontrar quantos números distintos de lados $ n $ existem entre 102 e 202, onde a soma dos ângulos internos desse polígono é um quadrado perfeito (tipo 100, 121, 144, etc.). Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono convexo e entender um pouco sobre quadrados perfeitos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo com $ n $ lados. A fórmula é:
Isso significa que, para cada polígono convexo, a soma dos seus ângulos internos depende do número de lados que ele tem.
Passo 3
Agora, queremos que essa soma seja um quadrado perfeito. Ou seja, queremos que:
Onde $ k $ é algum número inteiro. Nosso objetivo é encontrar valores de $ n $ entre 102 e 202 que satisfaçam essa equação.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para encontrar $ n $ em função de $ k $:
Como $ n $ precisa estar entre 102 e 202, vamos determinar os possíveis valores de $ k $.
Passo 5
Primeiro, calculamos os limites para $ k $. Sabemos que:
Portanto:
Agora, tirando a raiz quadrada:
Como $ k $ precisa ser um número inteiro, consideramos $ 135 \leq k \leq 189 $.
Passo 6
Além disso, para que $ \frac{k^2}{180} $ seja um número inteiro, $ k^2 $ deve ser múltiplo de 180. Vamos fatorar 180:
Para que $ k^2 $ seja múltiplo de 180, $ k $ precisa ser múltiplo de:
Como queremos que $ k $ seja inteiro, ele deve ser múltiplo de $ 2 \times 3 \times 5 = 30 $.
Passo 7
Então, os possíveis valores de $ k $ são múltiplos de 30 dentro do intervalo $ 135 \leq k \leq 189 $. Vamos listar esses valores:
Passo 8
Agora, vamos calcular $ n $ para cada valor de $ k $:
- Para $ k = 150 $:
- Para $ k = 180 $:
Passo 9
Verificando se esses valores de $ n $ estão entre 102 e 202:
- $ 127 $ está entre 102 e 202.
- $ 182 $ também está entre 102 e 202.
Resposta
Existem 2 valores distintos de $ n $ que satisfazem as condições do problema.
Resposta: a) 2