Quantos subconjuntos com
elementos possui um conjunto com
elementos?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta: Quantos subconjuntos com
elementos (onde
) existem em um conjunto com
elementos?. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente o cálculo de combinações. Precisaremos entender como calcular o número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de
elementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subconjunto. Um subconjunto de um conjunto maior é simplesmente um grupo de elementos selecionados desse conjunto. No nosso caso, queremos saber quantas maneiras diferentes existem para selecionar
elementos a partir de um conjunto com
elementos.
Passo 3
Agora, para calcular o número de subconjuntos de
elementos, usamos a fórmula das combinações. As combinações nos dizem de quantas maneiras podemos escolher
elementos sem se importar com a ordem em que são escolhidos. A fórmula das combinações é dada por:
Aqui,
(fatorial de
) é o produto de todos os números inteiros de 1 até
,
é o fatorial de
e
é o fatorial de
.
Passo 4
Vamos entender cada parte da fórmula:
-
: Representa todas as permutações possíveis dos elementos. -
: Como não nos importa a ordem dos elementos que escolhemos, dividimos por para eliminar as repetições. -
: Também dividimos por esse termo para eliminar as repetições dos elementos que não foram escolhidos.
Passo 5
Então, substituindo os valores na fórmula, temos que o número de subconjuntos com
elementos é:
Resposta
O número de subconjuntos com
elementos em um conjunto com
elementos é dado por: