Quantos subconjuntos com p(1 <= p <= n) elementos possui um conjunto com n elementos?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pergunta: Quantos subconjuntos com p elementos (onde 1 <= p <= n) existem em um conjunto com n elementos?. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinatória, especificamente o cálculo de combinações. Precisaremos entender como calcular o número de maneiras de escolher p elementos de um conjunto de n elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subconjunto. Um subconjunto de um conjunto maior é simplesmente um grupo de elementos selecionados desse conjunto. No nosso caso, queremos saber quantas maneiras diferentes existem para selecionar p elementos a partir de um conjunto com n elementos.

Passo 3

Agora, para calcular o número de subconjuntos de p elementos, usamos a fórmula das combinações. As combinações nos dizem de quantas maneiras podemos escolher p elementos sem se importar com a ordem em que são escolhidos. A fórmula das combinações é dada por:
C(n, p) = binomnp = n!p! times (n - p)!
Aqui, n! (fatorial de n) é o produto de todos os números inteiros de 1 até n, p! é o fatorial de p e (n - p)! é o fatorial de (n - p).

Passo 4

Vamos entender cada parte da fórmula:
  • n!: Representa todas as permutações possíveis dos n elementos.
  • p!: Como não nos importa a ordem dos p elementos que escolhemos, dividimos por p! para eliminar as repetições.
  • (n - p)!: Também dividimos por esse termo para eliminar as repetições dos elementos que não foram escolhidos.

Passo 5

Então, substituindo os valores na fórmula, temos que o número de subconjuntos com p elementos é:
binomnp = n!p! times (n - p)!

Resposta

O número de subconjuntos com p elementos em um conjunto com n elementos é dado por:
boxeddbinomnp = n!p! times (n - p)!

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