Considere n(n>2) pontos em um plano, entre os quais não há 3 pontos colineares. Quantas são as retas que contêm dois desses pontos?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que fala sobre $ n $ pontos no plano, onde $ n $ é maior que 2, e nenhum trio desses pontos está na mesma linha reta (ou seja, não tem 3 pontos colineares). A pergunta é: quantas linhas retas diferentes podemos formar usando esses pontos? Para resolver isso, vamos precisar usar combinações, que é um conceito de matemática que nos ajuda a contar de quantas maneiras podemos selecionar itens de um grupo sem importância da ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa formar uma reta com dois pontos. Se você escolher qualquer par de pontos, sempre dá para traçar uma linha reta que passa por eles. Como não tem três pontos na mesma linha, cada par de pontos vai gerar uma linha única e diferente das outras. Então, nosso objetivo é descobrir quantos pares de pontos diferentes podemos formar com esses $ n $ pontos.

Passo 3

Para calcular o número de pares possíveis, usamos a fórmula de combinação, que é representada por $ C(n, k) $, onde $ n $ é o total de itens e $ k $ é o número de itens que queremos selecionar. No nosso caso, queremos selecionar 2 pontos de um total de $ n $, então usamos $ C(n, 2) $.
A fórmula para a combinação é:
C(n, k)
Onde $ ! $ representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número. Simplificando a fórmula:
n
Isso nos dá o número total de pares de pontos, ou seja, o número de retas diferentes que podemos formar.

Resposta

O número de retas que contêm dois desses pontos é dado por:
n cdot (n-1)2

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