Quatro partículas, uma em cada um dos cantos de um quadrado de 2 m de lado, estão ligadas por barras sem massa. As massas das partículas são ml=m 3=3 kg e m 2=m 4=4 kg.
  • Determine o momento de inercia do sistema em relação ao eixo y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos quatro partículas, cada uma posicionada em um canto de um quadrado de lado 2 metros. As massas são dadas: duas partículas têm 3 kg e as outras duas têm 4 kg. A tarefa é descobrir o momento de inércia desse sistema em relação ao eixo y.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com momento de inércia, que faz parte da mecânica clássica, mais especificamente da dinâmica rotacional. Para resolver isso, vamos precisar das massas das partículas e de suas posições em relação ao eixo y.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Basicamente, ele quantifica o quanto um objeto resiste a mudanças em seu movimento rotacional. A fórmula geral para o momento de inércia $ I $ em relação a um eixo é:
I
onde:
  • $ m_i $ é a massa de cada partícula,
  • $ r_i $ é a distância da partícula ao eixo de rotação.

Passo 3

Agora, precisamos identificar a posição de cada partícula em relação ao eixo y. Vamos supor que o quadrado está centralizado na origem do sistema de coordenadas, com os lados alinhados aos eixos x e y. Assim, as coordenadas dos cantos são:
  • Partícula 1: (1 m, 1 m), massa $ m_1 = 3 , kg $
  • Partícula 2: (1 m, -1 m), massa $ m_2 = 4 , kg $
  • Partícula 3: (-1 m, 1 m), massa $ m_3 = 3 , kg $
  • Partícula 4: (-1 m, -1 m), massa $ m_4 = 4 , kg $

Passo 4

Como queremos o momento de inércia em relação ao eixo y, a distância $ r_i $ de cada partícula ao eixo y é simplesmente a coordenada x de cada ponto, porque é a distância perpendicular ao eixo y.
Então, usando a fórmula do momento de inércia:
ri
Vamos calcular para cada partícula:
  • Partícula 1: $ m_1 = 3 , kg $, $ x_1 = 1 , m $ → $ 3 \times (1)^2 = 3 , kg·m^2 $
  • Partícula 2: $ m_2 = 4 , kg $, $ x_2 = 1 , m $ → $ 4 \times (1)^2 = 4 , kg·m^2 $
  • Partícula 3: $ m_3 = 3 , kg $, $ x_3 = -1 , m $ → $ 3 \times (-1)^2 = 3 , kg·m^2 $
  • Partícula 4: $ m_4 = 4 , kg $, $ x_4 = -1 , m $ → $ 4 \times (-1)^2 = 4 , kg·m^2 $

Passo 5

Agora, somamos todos esses valores para obter o momento de inércia total em relação ao eixo y:
Iy = 3 + 4 + 3 + 4 = 14 , kg·m^2

Resposta

O momento de inércia do sistema em relação ao eixo y é 14 kg·m².

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