Duas barras metálicas de ouro e prata estão em contacto térmico. As barras têm a mesma secção e o mesmo comprimento. Se uma das extremidades de uma das barras está a 80^circ C e a outra extremidade da outra barra está a 30^circ C, determine a temperatura na região de contacto das barras. Considere as duas situações possíveis: o ouro ou a prata em contato com a fonte quente. Condutividades térmicas: Prata 427 Wm^-1 circ C^-1, Ouro 314 Wm^-1 circ C^-1. Respostas: Tm=51.2^circ C e Tm=58,8^circ C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre condução de calor! A gente tem duas barras metálicas, uma de ouro e outra de prata, que estão tocando uma na outra. As duas têm a mesma seção e o mesmo comprimento. Uma das extremidades de uma barra está a 80^circ C e a extremidade da outra barra está a 30^circ C. Precisamos achar qual é a temperatura na região onde elas se encontram, considerando duas situações: quando o ouro está em contato com a fonte quente e quando a prata está em contato com a fonte quente. Para isso, vamos usar conceitos de condução térmica e as condutividades térmicas dadas: prata 427 Wm^-1°C^-1 e ouro 314 Wm^-1°C^-1.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como o calor se comporta nas barras metálicas. Quando duas barras de materiais diferentes estão em contato térmico, o calor flui de um para o outro até alcançar o equilíbrio térmico na região de contato. A taxa de fluxo de calor depende da condutividade térmica de cada material. A condutividade térmica ( k) é uma medida de quão bem um material conduz o calor.

Passo 3

Vamos usar a equação da condução de calor para cada barra. A taxa de fluxo de calor ( Q) é dada por:
Q = k cdot A cdot De
Onde:
  • k é a condutividade térmica do material,
  • A é a área da seção transversal (igual para ambas as barras),
  • De é a diferença de temperatura,
  • L é o comprimento da barra.
Como as barras têm a mesma área e comprimento, podemos simplificar a relação entre as taxas de fluxo de calor das duas barras.

Passo 4

No ponto de contato, a quantidade de calor que sai de uma barra deve entrar na outra, ou seja, os fluxos de calor são iguais:
kouro cdot (Tquente - Tm) = kprata cdot (Tm - Tfria)
Onde Tm é a temperatura na região de contato que queremos encontrar.

Passo 5

Vamos resolver essa equação para Tm:
kouro cdot Tquente - kouro cdot Tm = kprata cdot Tm - kprata cdot Tfria
Rearranjando os termos:
kouro cdot Tquente + kprata cdot Tfria = (kouro + kprata) cdot Tm
Isolando Tm:
Tm = kouro cdot Tquente + kprata cdot Tfriakouro + kprata

Passo 6

Agora, vamos considerar as duas situações:
  1. Ouro em contato com a fonte quente ( Tquente = 80^circ C, Tfria = 30^circ C)
Tm = 314 cdot 80 + 427 cdot 30314 + 427 = 25120 + 12810741 = 37930741 approx 51,2^circ C
  1. Prata em contato com a fonte quente ( Tquente = 80^circ C, Tfria = 30^circ C)
Tm = 427 cdot 80 + 314 cdot 30427 + 314 = 34160 + 9420741 = 43580741 approx 58,8^circ C

Resposta

As temperaturas na região de contato das barras são Tm=51,2^circ C quando o ouro está em contato com a fonte quente e Tm=58,8^circ C quando a prata está em contato com a fonte quente.

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