Questão 4 (25 pontos)
Um cilindro vertical cuja base tem área
tem altura igual a
. O cilindro não tem tampa superior e está completamente cheio de água. Um buraco de área
aparece na base do cilindro. (b) ( 15 pontos) Calcule a velocidade V em função H .
Um cilindro vertical cuja base tem área
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um cilindro vertical cheio de água, sem tampa, com uma área de base
e altura
. Apareceu um buraco na base com área igual a
. A gente precisa descobrir a velocidade
com que a água sai desse buraco em função da altura
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de hidrodinâmica, especificamente a Lei de Torricelli, que nos ajuda a calcular a velocidade de saída de fluidos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei de Torricelli, que nos diz que a velocidade do fluido saindo por um orifício é dada por:
onde:
-
é a velocidade do fluido, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ), -
é a altura da coluna de água acima do orifício.
Essa fórmula é derivada da conservação de energia, onde a energia potencial da água na altura
se transforma em energia cinética na saída.
Passo 3
No nosso caso, o orifício tem área
, mas veja só: a área do buraco não influencia diretamente a velocidade com que a água sai, apenas o fluxo (quantidade de água que sai por unidade de tempo). A Lei de Torricelli nos dá a velocidade baseada apenas na altura
da coluna de água.
Portanto, mesmo com o buraco tendo área
, a velocidade
permanece a mesma, já que depende somente de
.
Passo 4
Então, aplicando diretamente a Lei de Torricelli, temos que a velocidade
da água saindo pelo buraco é:
Isso significa que, quanto maior a altura
, mais rápida será a saída da água.
Resposta
A velocidade da água é dada por: