Questão 1 (35 pontos)
(b) ( 20 pontos) Um aro uniforme de massa M e raio R está posicionado de tal modo que 0 eixo das coordenadas x coincide com seu eixo de simetria e a origem (ou seja, x=0 ) está no centro do aro. Qual é a energia potencial de um corpo pontual de massa m situado no eixo x em x=b? Calcule também sua velocidade de escape.?

Passo 1

Beleza! Vamos lá. Temos um aro uniforme com massa $ M $ e raio $ R $ alinhado com o eixo $ x $ das coordenadas, com a origem $ x=0 $ no centro do aro. Precisamos encontrar a energia potencial gravitacional de um corpo pontual de massa $ m $ localizado no ponto $ x = b $ ao longo do eixo $ x $. Além disso, vamos calcular a velocidade de escape desse sistema.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de gravitação, como a energia potencial gravitacional e a velocidade de escape, além de integrar para considerar a distribuição contínua de massa do aro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial gravitacional $ U $ entre o corpo de massa $ m $ e o aro de massa $ M $. A energia potencial gravitacional entre duas massas pontuais é dada por:
U
onde:
  • $ G $ é a constante gravitacional,
  • $ r $ é a distância entre as duas massas.
No nosso caso, o aro não é uma massa pontual, mas uma circunferência com raio $ R $. Vamos considerar cada pedacinho de massa do aro e integrar para encontrar a energia total.

Passo 3

Vamos parametrize o aro usando um ângulo $ \theta $ que varia de $ 0 $ a $ 2\pi $. Um elemento infinitesimal de massa no aro será:
theta
A distância $ r $ entre esse elemento de massa no ângulo $ \theta $ e o ponto $ x = b $ no eixo $ x $ pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
0

Passo 4

Agora, a energia potencial gravitacional infinitesimal $ dU $ devido a esse elemento de massa é:
dU
Para encontrar a energia potencial total $ U $, precisamos integrar $ dU $ de $ \theta = 0 $ a $ \theta = 2\pi $:
dU = -G m dMr = -G m M2pi dthetaraizb^2 + R^2 - 2bRcostheta

Passo 5

Essa integral pode ser complicada, mas felizmente existe uma fórmula conhecida para o potencial gravitacional de um anel em um ponto ao longo de seu eixo de simetria. O resultado da integral é:
U = -G m Mraizb^2 + R^2
Isso significa que a energia potencial gravitacional do corpo pontual $ m $ em $ x = b $ é inversamente proporcional à distância $ \sqrt{b^2 + R^2} $ entre o ponto e o centro do aro.

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade de escape $ v_{esc} $. A velocidade de escape é a velocidade mínima necessária para que o corpo $ m $ escape totalmente da influência gravitacional do aro sem sofrer mais aceleração por essa força.
A energia cinética necessária para escapar é igual à energia potencial gravitacional:
vesc
Substituindo $ U $:
m

Passo 7

Agora, vamos resolver para $ v_{esc} $:
Primeiro, simplificamos o $ m $:
vesc
Multiplicando ambos os lados por 2:
m
Finalmente, tiramos a raiz quadrada:
12 vesc^2 = G Mraizb^2 + R^2

Resposta

A energia potencial do corpo pontual $ m $ situado no ponto $ x = b $ é:
m
E a velocidade de escape necessária é:
x = b

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